【复合函数如何求导公式】在微积分中，复合函数的求导是一个非常重要的知识点。复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，例如 $ y = f(g(x)) $。对于这类函数，我们需要使用链式法则（Chain Rule）来进行求导。本文将对复合函数的求导方法进行总结，并通过表格形式清晰展示不同情况下的求导公式。
一、复合函数的基本概念
复合函数是指一个函数作为另一个函数的输入，即：
若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则 $ y = f(g(x)) $ 就是一个复合函数。
二、复合函数的求导法则
链式法则是求复合函数导数的核心方法：
> 若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则 $ y $ 对 $ x $ 的导数为：
>
> $$
> \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
> $$
也就是说，先对最外层函数求导，再乘以内层函数对自变量的导数。
三、常见复合函数的求导公式总结
以下是一些常见的复合函数及其对应的求导公式：
| 复合函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ y = [f(x)]^n $ | $ \frac{dy}{dx} = n[f(x)]^{n-1} \cdot f'(x) $ | 幂函数的导数，使用链式法则 |
| $ y = e^{f(x)} $ | $ \frac{dy}{dx} = e^{f(x)} \cdot f'(x) $ | 指数函数的导数 |
| $ y = \ln(f(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) $ | 对数函数的导数 |
| $ y = \sin(f(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \cos(f(x)) \cdot f'(x) $ | 正弦函数的导数 |
| $ y = \cos(f(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = -\sin(f(x)) \cdot f'(x) $ | 余弦函数的导数 |
| $ y = a^{f(x)} $ | $ \frac{dy}{dx} = a^{f(x)} \cdot \ln(a) \cdot f'(x) $ | 底数为常数的指数函数导数 |
| $ y = \log_a(f(x)) $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{f(x)\ln(a)} \cdot f'(x) $ | 底数为常数的对数函数导数 |
四、应用示例
例1：
设 $ y = (2x + 3)^5 $，求 $ \frac{dy}{dx} $
- 设 $ u = 2x + 3 $，则 $ y = u^5 $
- $ \frac{dy}{du} = 5u^4 $，$ \frac{du}{dx} = 2 $
- 所以 $ \frac{dy}{dx} = 5(2x+3)^4 \cdot 2 = 10(2x+3)^4 $
例2：
设 $ y = \sin(3x^2) $，求 $ \frac{dy}{dx} $
- 设 $ u = 3x^2 $，则 $ y = \sin(u) $
- $ \frac{dy}{du} = \cos(u) $，$ \frac{du}{dx} = 6x $
- 所以 $ \frac{dy}{dx} = \cos(3x^2) \cdot 6x = 6x\cos(3x^2) $
五、总结
复合函数的求导本质上是通过链式法则逐步分解，先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。掌握这一基本方法后，可以灵活应对各种形式的复合函数求导问题。通过表格形式可以更直观地记忆和应用不同的导数公式。
如需进一步学习多层复合函数的求导方法（如三重复合函数），可继续研究“链式法则的多次应用”。