【当总体服从正态分布时,样本均值的标准差为( )。(1.0分)】在统计学中，当我们研究一个总体的特征时，常常会通过抽取样本进行分析。如果总体服从正态分布，那么样本均值的分布也具有一定的规律性。其中，样本均值的标准差是衡量样本均值波动程度的重要指标。
一、概念总结
- 总体：我们所研究的对象的全部个体。
- 样本：从总体中抽取的一部分个体。
- 样本均值（$\bar{X}$）：样本中所有数据的平均值。
- 标准差：衡量一组数据与其均值之间偏离程度的统计量。
当总体服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 时，样本均值 $\bar{X}$ 的分布也为正态分布，其均值为总体均值 $\mu$，而标准差则与样本容量有关。
二、样本均值的标准差公式
样本均值的标准差（也称为标准误差，Standard Error, SE）计算公式如下：
$$
SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
其中：
- $\sigma$ 是总体标准差；
- $n$ 是样本容量。
这个公式表明，随着样本容量 $n$ 的增加，样本均值的标准差会减小，说明样本均值的估计更加稳定和精确。
三、表格展示关键信息
| 概念 | 定义 |
| 总体分布 | 正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ |
| 样本均值 | $\bar{X}$，是从总体中抽取的一个样本的平均值 |
| 样本均值的分布 | 正态分布 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$ |
| 标准差 | $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$（即标准误差，SE） |
四、结论
当总体服从正态分布时，样本均值的标准差为：
$$
\boxed{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}
$$
这一结果不仅适用于正态分布的总体，在大样本情况下也常用于近似推断。它是统计推断中的重要基础，广泛应用于置信区间、假设检验等分析中。