【三角函数公式大全及使用方法技巧】在数学学习中，三角函数是基础而重要的内容，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握好三角函数的公式和使用技巧，不仅能提高解题效率，还能加深对数学本质的理解。本文将系统总结常见的三角函数公式，并结合实际应用技巧进行说明。
一、基本三角函数定义
| 名称 | 符号 | 定义 |
| 正弦 | sinθ | 对边 / 斜边 |
| 余弦 | cosθ | 邻边 / 斜边 |
| 正切 | tanθ | 对边 / 邻边 |
| 余切 | cotθ | 邻边 / 对边 |
| 正割 | secθ | 斜边 / 邻边 |
| 余割 | cscθ | 斜边 / 对边 |
二、常用三角函数公式汇总
1. 基本关系式
| 公式 | 内容 |
| 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
| 倒数关系 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $, $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $, $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} $ |
2. 诱导公式（角度变换）
| 角度变化 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ |
3. 和差角公式
| 公式 | 内容 |
| $ \sin(A \pm B) $ | $ \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| $ \cos(A \pm B) $ | $ \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| $ \tan(A \pm B) $ | $ \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
4. 倍角公式
| 公式 | 内容 |
| $ \sin 2A $ | $ 2\sin A \cos A $ |
| $ \cos 2A $ | $ \cos^2 A - \sin^2 A $ 或 $ 2\cos^2 A - 1 $ 或 $ 1 - 2\sin^2 A $ |
| $ \tan 2A $ | $ \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A} $ |
5. 半角公式
| 公式 | 内容 |
| $ \sin \frac{A}{2} $ | $ \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}} $ |
| $ \cos \frac{A}{2} $ | $ \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} $ |
| $ \tan \frac{A}{2} $ | $ \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} $ |
6. 积化和差公式
| 公式 | 内容 |
| $ \sin A \cos B $ | $ \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ |
| $ \cos A \cos B $ | $ \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ |
| $ \sin A \sin B $ | $ \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ |
7. 和差化积公式
| 公式 | 内容 |
| $ \sin A + \sin B $ | $ 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
| $ \sin A - \sin B $ | $ 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
| $ \cos A + \cos B $ | $ 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
| $ \cos A - \cos B $ | $ -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
三、使用方法与技巧
1. 理解单位圆：通过单位圆可以直观理解三角函数的周期性、对称性和取值范围。
2. 灵活运用诱导公式：遇到复杂角度时，先将其转化为0°~360°之间的角度，再代入计算。
3. 熟悉特殊角的三角函数值：如0°、30°、45°、60°、90°等，有助于快速求解。
4. 注意符号问题：根据角度所在的象限判断正负号，避免出错。
5. 多练习变形题目：如利用公式推导其他表达式，提升综合应用能力。
6. 结合图形辅助理解：画图有助于理解函数的变化趋势和几何意义。
四、总结
三角函数不仅是数学中的基础工具，也是解决实际问题的重要手段。掌握其公式和使用技巧，能显著提高解题效率与准确性。建议在学习过程中注重理解与应用相结合，逐步建立起系统的知识框架。希望本文能为你的学习提供帮助！