【导数是lnx的原函数是什么】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一个基本问题。当我们知道某个函数的导数是 $\ln x$，那么我们需要找到一个函数 $F(x)$，使得它的导数为 $\ln x$。也就是说，我们要求的是：
$$
\int \ln x \, dx
$$
这个积分可以通过分部积分法来求解。下面我们将总结这一过程，并以表格形式展示关键步骤和结果。
一、说明
求 $\int \ln x \, dx$ 的关键是使用分部积分法。设：
- $u = \ln x$
- $dv = dx$
则有：
- $du = \frac{1}{x} dx$
- $v = x$
根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + C
$$
因此，$\ln x$ 的原函数为：
$$
x \ln x - x + C
$$
其中，$C$ 是积分常数。
二、分步计算表
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 设 $u = \ln x$, $dv = dx$ | 分部积分法的基本设定 |
| 2 | 则 $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ | 对 $u$ 和 $dv$ 求导和积分 |
| 3 | 应用公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ | 分部积分法的核心公式 |
| 4 | $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx$ | 代入 $u, v, du, dv$ |
| 5 | $= x \ln x - \int 1 \, dx$ | 简化积分表达式 |
| 6 | $= x \ln x - x + C$ | 计算最终结果 |
三、结论
若某函数的导数是 $\ln x$，则其原函数为：
$$
x \ln x - x + C
$$
其中，$C$ 是任意常数，表示所有可能的原函数之间的差异。
如需进一步验证，可以对上述结果求导，确认其导数是否为 $\ln x$，这有助于加深对积分与导数关系的理解。