【导数公式大全】在微积分的学习中，导数是一个非常重要的概念，它用于描述函数的变化率。掌握常见的导数公式，有助于快速求解各类函数的导数问题。本文将对常见的导数公式进行总结，并以表格的形式呈现，方便查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
二、导数的运算法则
在实际计算中，常常需要对多个函数进行加减乘除或复合运算，此时可以使用以下导数运算法则：
| 运算类型 | 公式 |
| 加法法则 | $ (f + g)' = f' + g' $ |
| 减法法则 | $ (f - g)' = f' - g' $ |
| 乘法法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ |
| 商法则 | $ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $（$ g \neq 0 $） |
| 链式法则 | $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
三、高阶导数与隐函数导数
除了基本导数外，还经常遇到高阶导数和隐函数的求导问题：
- 高阶导数：如 $ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} $，表示对原函数连续求两次导。
- 隐函数求导：若 $ F(x, y) = 0 $，则通过两边对 x 求导，解出 $ \frac{dy}{dx} $。
四、常见函数的导数示例
| 函数 | 导数 |
| $ y = \sqrt{x} $ | $ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $ |
| $ y = \arcsin x $ | $ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ y = \arccos x $ | $ y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ y = \arctan x $ | $ y' = \frac{1}{1 + x^2} $ |
| $ y = \text{arccot } x $ | $ y' = -\frac{1}{1 + x^2} $ |
五、小结
导数是数学分析中的核心内容之一，掌握常见的导数公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数变化规律的理解。本文从基本初等函数到复合函数、隐函数以及高阶导数进行了系统的整理，希望对学习者有所帮助。
在实际应用中，建议结合具体题目练习，逐步提升对导数公式的灵活运用能力。