问arctanx 的级数表达式 麦克劳林展开详解

arctanx 的级数表达式是麦克劳林幂级数展开，标准形式为 arctanx 等于 x 减去 x 的三次方除以 3 加上 x 的五次方除以 5 减去 x 的七次方除以 7，以此类推，通项写法是从 n 等于 0 开始累加，负一的 n 次方乘以 x 的 2n 加 1 次方再除以 2n 加 1，这个级数也常被称为莱布尼茨级数，推导核心思路是利用 arctanx 的导数等于 1 除以 1 加 x 平方，而 1 除以 1 加 x 平方可以套用等比级数展开，之后对展开式逐项积分，就得到 arctanx 的级数表达式，该级数收敛区间是负一到一，在区间端点 x 等于正负 1 也满足收敛条件，这个级数在数值计算近似求反正切值圆周率计算工程近似运算里面应用非常广泛，学习 arctanx 的级数表达式，需要掌握推导逻辑收敛区间通项公式，同时理解逐项积分的使用前提，也就是幂级数可以在收敛区间内逐项积分，积分之后收敛半径保持不变，这是幂级数章节非常经典的例题，是高等数学无穷级数板块的重点内容。

基础参数对照表

表格

完整推导步骤

1 第一步 写出 arctanx 导数公式，arctanx 导数等于 1 除以 1 加 x 平方

2 第二步 把 1 除以 1 加 x 平方看成等比级数，等比级数 1 除以 1 加 t 等于累加负一的 n 次方 t 的 n 次方，收敛条件 t 绝对值小于 1，这里令 t 等于 x 平方，得到 1 除以 1 加 x 平方等于累加负一的 n 次方 x 的 2n 次方，收敛条件 x 平方小于 1 也就是 x 绝对值小于 1

3 第三步 对等式左右两边从 0 到 x 逐项积分，左边积分结果就是 arctanx 减去 arctan0，arctan0 等于 0，所以左边等于 arctanx

4 第四步 右边逐项积分，每一项负一的 n 次方 x 的 2n 次方积分之后得到负一的 n 次方 x 的 2n 加 1 次方除以 2n 加 1

5 第五步 整理得到 arctanx 的级数表达式，同时校验端点收敛性，x 等于正负 1 的时候级数依旧收敛

深度拓展要点

1 逐项积分性质 幂级数在收敛区间内部可以逐项积分，积分之后收敛半径不变，但是端点收敛性有可能发生变化，本式在端点保持收敛

2 奇偶特点 arctanx 是奇函数，所以它的级数表达式只含有 x 的奇次幂，没有偶次幂项，正负号交替变化

3 圆周率应用 当 x 等于 1 代入级数表达式，arctan1 等于四分之派，就可以得到求圆周率的经典级数公式

4 近似计算 取级数前若干项，就可以近似计算 arctanx 的数值，项数越多精度越高

前几项展开展示

第一项 x

第二项 减 x 三次方除以 3

第三项 加 x 五次方除以 5

第四项 减 x 七次方除以 7

第五项 加 x 九次方除以 9

掌握 arctanx 的级数表达式推导原理通项以及收敛区间之后，就可以把这个展开式用于近似计算，同时可以对比 ln (1 加 x) 的幂级数展开，二者同样是利用等比级数逐项积分得到，学习的时候可以总结同类推导套路。

【相关 FAQ】

问题 1 arctanx 的级数表达式是怎么推导出来的

回答 1 arctanx 的级数表达式是先对 arctanx 求导得到 1 除以 1 加 x 平方，把这个分式展开成等比幂级数，再进行逐项积分，最终得到 arctanx 的级数表达式。

问题 2 arctanx 的级数表达式收敛区间是多少

回答 2 arctanx 的级数表达式收敛半径是 1，收敛区间是负一到一，并且在 x 等于正负 1 两个端点级数也可以收敛。

问题 3 arctanx 的级数表达式为什么只有奇次幂

回答 3 arctanx 的级数表达式只保留奇次幂，是因为 arctanx 本身是奇函数，奇函数的麦克劳林展开式天然只存在奇次幂项，并且符号正负交替。

问题 4 arctanx 的级数表达式可以用来计算圆周率吗

回答 4 arctanx 的级数表达式可以用来计算圆周率，令 x 等于 1，arctan1 等于四分之派，代入级数就可以得到圆周率对应的莱布尼茨级数。

【免责申明】

本内容仅用于高等数学学习参考，幂级数展开与收敛判定依据通用高等数学教材，做题练习请结合课本例题规范书写推导步骤。