【三角函数变换公式】在数学中，三角函数是研究角度与边长关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。为了更方便地进行计算和推导，掌握一些常见的三角函数变换公式是非常必要的。以下是对常用三角函数变换公式的总结，并通过表格形式进行展示。
一、基本恒等式
1. 毕达哥拉斯恒等式
- $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $
- $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $
- $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $
2. 倒数关系
- $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $
- $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $
- $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $
二、角度变换公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦的余角公式 | $ \sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta $ |
| 余弦的余角公式 | $ \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta $ |
| 正切的余角公式 | $ \tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta $ |
| 正弦的负角公式 | $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $ |
| 余弦的负角公式 | $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ |
| 正切的负角公式 | $ \tan(-\theta) = -\tan\theta $ |
三、和差角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦和角公式 | $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ |
| 正弦差角公式 | $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ |
| 余弦和角公式 | $ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ |
| 余弦差角公式 | $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $ |
| 正切和角公式 | $ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $ |
| 正切差角公式 | $ \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} $ |
四、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin 2\theta = 2 \sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角公式（三种形式） | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ $ \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 $ $ \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角公式 | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
五、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦半角公式 | $ \sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角公式 | $ \cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角公式 | $ \tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} $ |
六、积化和差公式
| 公式 | 表达式 |
| $ \sin A \cos B $ | $ \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ |
| $ \cos A \sin B $ | $ \frac{1}{2} [\sin(A + B) - \sin(A - B)] $ |
| $ \cos A \cos B $ | $ \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)] $ |
| $ \sin A \sin B $ | $ \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)] $ |
七、和差化积公式
| 公式 | 表达式 |
| $ \sin A + \sin B $ | $ 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} $ |
| $ \sin A - \sin B $ | $ 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} $ |
| $ \cos A + \cos B $ | $ 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} $ |
| $ \cos A - \cos B $ | $ -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} $ |
总结
以上内容涵盖了三角函数的基本恒等式、角度变换、和差角、倍角、半角、积化和差以及和差化积等常见变换公式。这些公式在解题过程中具有重要的应用价值，尤其在处理复杂三角函数表达式时，能够简化运算并提高效率。掌握这些公式，有助于更好地理解和运用三角函数在实际问题中的作用。
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