【三角比公式】在数学中，三角比是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。三角比主要包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等基本函数，以及它们的倒数函数和相关公式。以下是对常见三角比公式的总结与归纳。
一、基本三角比定义
设一个直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则有：
| 三角比 | 定义式 |
| sinθ | a / c |
| cosθ | b / c |
| tanθ | a / b |
| cotθ | b / a |
| secθ | c / b |
| cscθ | c / a |
二、常用三角恒等式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 基本恒等式 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 正切与余切关系 | tanθ = sinθ / cosθ；cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | 1 + tan²θ = sec²θ；1 + cot²θ = csc²θ |
| 倒数关系 | sinθ = 1 / cscθ；cosθ = 1 / secθ；tanθ = 1 / cotθ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 三角比变化公式 |
| θ + 2π | sin(θ + 2π) = sinθ；cos(θ + 2π) = cosθ |
| -θ | sin(-θ) = -sinθ；cos(-θ) = cosθ |
| π - θ | sin(π - θ) = sinθ；cos(π - θ) = -cosθ |
| π + θ | sin(π + θ) = -sinθ；cos(π + θ) = -cosθ |
| π/2 - θ | sin(π/2 - θ) = cosθ；cos(π/2 - θ) = sinθ |
| π/2 + θ | sin(π/2 + θ) = cosθ；cos(π/2 + θ) = -sinθ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差公式 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB |
| 正切和差公式 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角与半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2θ = 2sinθ cosθ |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角公式 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = (1 - cosθ)/sinθ = sinθ/(1 + cosθ) |
六、积化和差与和差化积公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 积化和差 | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 | |
| sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 | |
| 和差化积 | sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] | |
| cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] | |
| cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
七、三角函数的周期性
| 三角函数 | 周期 |
| sinθ | 2π |
| cosθ | 2π |
| tanθ | π |
| cotθ | π |
总结
三角比公式是解决三角形问题和进行三角函数运算的基础工具。掌握这些公式不仅能帮助理解三角函数的性质，还能提高解题效率。通过合理运用这些公式，可以在各种实际问题中找到简洁而准确的解决方案。建议在学习过程中多做练习，加深对公式的理解和应用能力。
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