在高等数学中，求函数的导数是一项基础而重要的技能。今天我们来探讨一个具体的例子——求解函数 $ y = \ln(\sin x) $ 的导数。

首先，我们需要明确这是一个复合函数，其中外层函数是自然对数函数 $\ln u$，内层函数是正弦函数 $\sin x$。为了计算其导数，我们可以利用链式法则。链式法则是微积分中的一个重要工具，用于处理复合函数的导数问题。

具体步骤如下：

1. 设 $ u = \sin x $，则原函数可以改写为 $ y = \ln u $。

2. 根据链式法则，$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。

3. 计算各部分的导数：

- 对于外层函数 $ y = \ln u $，其导数为 $\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$。

- 对于内层函数 $ u = \sin x $，其导数为 $\frac{du}{dx} = \cos x$。

4. 将结果代入链式法则公式，得到：

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x

$$

因此，函数 $ y = \ln(\sin x) $ 的导数为 $ \cot x $。

通过这个过程，我们不仅掌握了如何应用链式法则，还加深了对复合函数求导的理解。希望这个分析能够帮助大家更好地掌握这一知识点。

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