【正余弦公式有哪些】在三角函数的学习中，正弦和余弦是最基本的两个函数。它们不仅在数学中有广泛应用，在物理、工程等领域也起着重要作用。为了帮助大家更好地理解和记忆这些公式，本文将对常见的正余弦公式进行总结，并以表格形式展示。
一、基本定义公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦函数 | $\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ | 直角三角形中，对边与斜边的比值 |
| 余弦函数 | $\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$ | 直角三角形中，邻边与斜边的比值 |
二、诱导公式（角度转换）
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| $\sin(-\theta)$ | $-\sin \theta$ | 奇函数性质 |
| $\cos(-\theta)$ | $\cos \theta$ | 偶函数性质 |
| $\sin(\pi - \theta)$ | $\sin \theta$ | 对称于 $\pi/2$ |
| $\cos(\pi - \theta)$ | $-\cos \theta$ | 对称于 $\pi/2$ |
| $\sin(\pi + \theta)$ | $-\sin \theta$ | 周期性变换 |
| $\cos(\pi + \theta)$ | $-\cos \theta$ | 周期性变换 |
三、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| $\sin(A + B)$ | $\sin A \cos B + \cos A \sin B$ | 和角公式 |
| $\sin(A - B)$ | $\sin A \cos B - \cos A \sin B$ | 差角公式 |
| $\cos(A + B)$ | $\cos A \cos B - \sin A \sin B$ | 和角公式 |
| $\cos(A - B)$ | $\cos A \cos B + \sin A \sin B$ | 差角公式 |
四、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| $\sin(2A)$ | $2\sin A \cos A$ | 两倍角公式 |
| $\cos(2A)$ | $\cos^2 A - \sin^2 A$ 或 $1 - 2\sin^2 A$ 或 $2\cos^2 A - 1$ | 两倍角公式，有多种形式 |
五、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| $\sin\left(\frac{A}{2}\right)$ | $\pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}$ | 半角公式 |
| $\cos\left(\frac{A}{2}\right)$ | $\pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$ | 半角公式 |
六、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| $\sin A \cos B$ | $\frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\cos A \sin B$ | $\frac{1}{2} [\sin(A + B) - \sin(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\cos A \cos B$ | $\frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\sin A \sin B$ | $-\frac{1}{2} [\cos(A + B) - \cos(A - B)]$ | 积化和差 |
七、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| $\sin A + \sin B$ | $2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\sin A - \sin B$ | $2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos A + \cos B$ | $2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos A - \cos B$ | $-2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
总结
正余弦公式是三角函数中的核心内容，涵盖了从基本定义到复杂变换的多个方面。掌握这些公式不仅能提高解题效率，还能加深对三角函数的理解。建议在学习过程中多做练习，结合图像和实际应用来巩固记忆。