【贝叶斯优化计算公式】贝叶斯优化是一种用于全局优化的高效方法，尤其适用于目标函数评估成本较高的场景。其核心思想是通过构建概率模型来近似目标函数，并利用该模型选择下一个最有潜力的样本点进行评估，从而逐步逼近最优解。
贝叶斯优化主要包括以下几个步骤：
1. 构建先验分布（通常使用高斯过程）；
2. 选择采集函数（如EI、UCB、PI等）；
3. 根据采集函数选择下一个样本点；
4. 评估新样本点的目标函数值；
5. 更新后验分布并重复上述过程。
以下是贝叶斯优化中常用的一些关键公式和概念：
| 术语/公式 | 说明 | |
| $ f(x) $ | 目标函数，需最大化或最小化 | |
| $ \mathcal{D} = \{(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)\} $ | 已知的样本数据集，其中 $ y_i = f(x_i) + \epsilon $ | |
| $ p(f(x)) $ | 先验分布，通常为高斯过程（GP） | |
| $ p(y | x, \mathcal{D}) $ | 后验分布，基于已知数据对新点 $ x $ 的预测 |
| $ \mu(x) $ | 预测均值 | |
| $ \sigma(x) $ | 预测标准差 | |
| $ \text{EI}(x) = \mathbb{E}[\max(0, f(x) - f(x^+))] $ | 期望改进（Expected Improvement），常用采集函数 | |
| $ \text{UCB}(x) = \mu(x) + \kappa \sigma(x) $ | 上置信界（Upper Confidence Bound） | |
| $ \text{PI}(x) = P(f(x) > f(x^+) + \epsilon) $ | 概率改进（Probability of Improvement） |
在实际应用中，贝叶斯优化通过不断迭代更新模型和选择新的采样点，逐步缩小搜索空间，提高优化效率。其优势在于能够在较少的样本点下找到较优解，特别适合黑箱优化问题。
综上所述，贝叶斯优化结合了概率建模与启发式搜索策略，提供了一种高效的优化框架。理解其基本公式和流程有助于更好地应用该方法解决实际问题。