问怎么计算Poincare圆盘里面两点间的距离

【怎么计算Poincare圆盘里面两点间的距离】在非欧几何中，Poincaré圆盘模型是一种用来表示双曲几何的常用方式。在这个模型中，整个双曲空间被嵌入到一个单位圆内，而圆盘内部的点代表双曲空间中的点。与欧几里得几何不同，Poincaré圆盘内的“距离”并非直线距离，而是根据双曲度量来定义的。

本文将总结如何计算Poincaré圆盘内两点之间的距离，并通过表格形式清晰展示关键公式和步骤。

一、基本概念

- Poincaré圆盘模型：一个单位圆（半径为1），圆盘内部的所有点构成双曲空间。

- 双曲距离：在Poincaré圆盘中，两点之间的“距离”是根据双曲度量计算得出的，不同于欧几里得距离。

- 参数：设点A和点B在圆盘内的坐标分别为 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $。

二、计算公式

Poincaré圆盘中两点之间的双曲距离 $ d $ 的计算公式如下：

$$

d = \text{arcosh} \left( 1 + \frac{2 \ \vec{A} - \vec{B} \^2}{(1 - \ \vec{A} \^2)(1 - \ \vec{B} \^2)} \right)

$$

其中：

- $ \vec{A} = (x_1, y_1) $

- $ \vec{B} = (x_2, y_2) $

- $ \ \vec{A} \ $ 表示点A到原点的欧几里得距离，即 $ \sqrt{x_1^2 + y_1^2} $

三、计算步骤总结

四、注意事项

- 所有计算必须确保点A和点B位于单位圆内，即 $ r_A < 1 $ 且 $ r_B < 1 $。

- 若点位于圆盘边界上或外部，则不适用该公式。

- 双曲距离总是大于等于0，且随着点靠近圆盘边缘而迅速增大。

五、示例说明

假设点A为 $ (0.5, 0) $，点B为 $ (0, 0.5) $，则：

- $ r_A = \sqrt{0.5^2 + 0^2} = 0.5 $

- $ r_B = \sqrt{0^2 + 0.5^2} = 0.5 $

- $ \Delta = \sqrt{(0.5 - 0)^2 + (0 - 0.5)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} \approx 0.707 $

代入公式得：

$$

d = \text{arcosh} \left( 1 + \frac{2 \times 0.5}{(1 - 0.25)(1 - 0.25)} \right) = \text{arcosh} \left( 1 + \frac{1}{0.5625} \right) = \text{arcosh}(1 + 1.7778) = \text{arcosh}(2.7778)

$$

查表或使用计算器可得：

$$

d \approx 1.326

$$

六、总结

在Poincaré圆盘模型中，两点之间的双曲距离并不是简单的欧几里得距离，而是基于特定的双曲度量进行计算。通过上述公式和步骤，可以准确地计算出圆盘内任意两点之间的双曲距离。这种方法在研究双曲几何、相对论、计算机图形学等领域具有重要应用价值。