【单纯形表法详细讲解】单纯形表法是线性规划中用于求解最优解的一种重要方法，尤其适用于标准形式的线性规划问题。它通过迭代的方式逐步改进当前解，最终找到目标函数的最优值。本文将对单纯形表法进行详细讲解，并以表格形式展示关键步骤和内容。
一、单纯形表法概述
单纯形表法是一种基于矩阵运算的算法，通过构造一个称为“单纯形表”的表格，系统地处理线性规划问题中的变量与约束条件。该方法的核心思想是：在可行域的顶点之间移动，逐步寻找使目标函数达到最优的顶点。
二、基本步骤
1. 将线性规划问题转化为标准形式
- 目标函数为最大化或最小化。
- 所有约束为等式，且右边常数非负。
- 所有变量非负。
2. 引入松弛变量或人工变量（如需）
- 松弛变量用于将不等式约束转换为等式。
- 人工变量用于构造初始基变量。
3. 建立初始单纯形表
- 包括目标函数系数、约束方程系数、右端常数项等。
4. 选择入基变量与出基变量
- 入基变量：选择目标函数中系数为正（最大值问题）或负（最小值问题）的变量。
- 出基变量：根据最小比值规则确定。
5. 进行行变换
- 将入基变量对应的列变为单位向量，更新其他行。
6. 重复步骤4-5，直到无法改进目标函数。
三、单纯形表结构示例
以下是一个典型的单纯形表结构：
| 基变量 | $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | $s_1$ | $s_2$ | RHS |
| $s_1$ | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 4 |
| $s_2$ | 0 | 2 | 1 | 0 | 1 | 6 |
| $Z$ | -3 | -2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
> 说明：
- $x_1, x_2, x_3$ 为决策变量；
- $s_1, s_2$ 为松弛变量；
- RHS 表示右侧常数项；
- $Z$ 行表示目标函数的系数（假设为最大化问题）。
四、关键术语解释
| 术语 | 含义 |
| 基变量 | 在当前解中取非零值的变量，构成基矩阵。 |
| 非基变量 | 在当前解中取零值的变量。 |
| 检验数 | 目标函数行中对应变量的系数，用于判断是否需要换入新变量。 |
| 最小比值规则 | 用于确定出基变量的规则，防止解出现负数。 |
| 单纯形表 | 用于记录线性规划问题所有信息的表格，包括变量、系数、RHS等。 |
五、单纯形法的优缺点
| 优点 | 缺点 |
| 系统性强，易于程序实现 | 对于大规模问题计算量大 |
| 可以处理多种类型的约束条件 | 需要初始可行解 |
| 适用于标准形式的线性规划问题 | 若存在退化解，可能陷入循环 |
六、总结
单纯形表法是一种高效且实用的线性规划求解方法，通过表格形式清晰展示各个变量之间的关系及目标函数的变化情况。掌握其基本步骤和关键概念，有助于快速理解并应用这一经典算法。对于实际问题，建议结合具体模型进行练习，以加深对单纯形法的理解与运用能力。