【单纯形表表格怎么填】在运筹学中，单纯形法是一种用于求解线性规划问题的算法。为了更直观地进行计算和分析，通常会使用“单纯形表”来辅助求解。单纯形表是将线性规划模型转化为表格形式，便于迭代运算和判断最优解。
下面我们将总结如何填写单纯形表，并通过一个示例表格展示其结构和填写方法。
一、单纯形表的基本结构
单纯形表主要包括以下几个部分：
| 基变量 | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | $b$ | 比值（b/系数） |
| $s_1$ | 1 | 2 | 1 | 0 | 6 | 3 |
| $s_2$ | 3 | 1 | 0 | 1 | 7 | 7/3 |
| $z_j$ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| $c_j - z_j$ | 3 | 4 | 0 | 0 |
- 基变量：表示当前基中的变量。
- $x_1, x_2$：决策变量。
- $s_1, s_2$：松弛变量（用于将不等式转化为等式）。
- $b$：常数项，即右端的数值。
- 比值：用于确定换入变量时的最小比值，以确保非负性。
- $z_j$：目标函数系数的累计值。
- $c_j - z_j$：检验数，用于判断是否达到最优解。
二、填写单纯形表的步骤
1. 写出标准形式的线性规划问题
将原问题转换为标准形式，即：
$$
\text{最大化 } Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \dots + c_nx_n
$$
约束条件为：
$$
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n + s_1 = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n + s_2 = b_2 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n + s_m = b_m
$$
其中 $s_i$ 为松弛变量。
2. 建立初始单纯形表
在初始表中，基变量通常是松弛变量 $s_1, s_2, \dots, s_m$，对应的系数矩阵为单位矩阵。
3. 计算 $z_j$ 和 $c_j - z_j$
- $z_j = \sum (c_B \cdot a_{ij})$，其中 $c_B$ 是基变量的目标系数。
- $c_j - z_j$ 表示每个变量对目标函数的贡献，若所有 $c_j - z_j \leq 0$，则当前解为最优解。
4. 选择换入变量与换出变量
- 换入变量：选择 $c_j - z_j > 0$ 的最大值所对应的变量。
- 换出变量：根据比值规则（$b_i / a_{ij}$）选择最小的正比值对应的基变量。
5. 进行行变换，更新表格
通过高斯消元法调整行，使换入变量的系数变为1，其他行中该列的系数变为0。
6. 重复迭代，直到所有 $c_j - z_j \leq 0$
此时，得到最优解。
三、示例说明
假设我们有以下线性规划问题：
$$
\text{最大化 } Z = 3x_1 + 4x_2 \\
\text{约束：} \\
x_1 + 2x_2 \leq 6 \\
3x_1 + x_2 \leq 7 \\
x_1, x_2 \geq 0
$$
将其转化为标准形式：
$$
x_1 + 2x_2 + s_1 = 6 \\
3x_1 + x_2 + s_2 = 7
$$
初始单纯形表如下：
| 基变量 | $x_1$ | $x_2$ | $s_1$ | $s_2$ | $b$ | 比值 |
| $s_1$ | 1 | 2 | 1 | 0 | 6 | 3 |
| $s_2$ | 3 | 1 | 0 | 1 | 7 | 7/3 |
| $z_j$ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| $c_j - z_j$ | 3 | 4 | 0 | 0 |
从表中可以看到，$x_2$ 是换入变量，$s_1$ 是换出变量。经过一次迭代后，最终可得到最优解。
四、总结
单纯形表是求解线性规划问题的重要工具，通过表格的形式清晰地展示各个变量之间的关系及迭代过程。填写单纯形表的关键在于正确识别基变量、计算检验数、选择换入换出变量并进行行变换。掌握这一过程，能够有效提高求解效率和准确性。