【初等变换法求逆矩阵】在矩阵运算中，求一个矩阵的逆矩阵是一个常见的问题。对于可逆矩阵（即行列式不为零的矩阵），我们可以使用初等变换法来求其逆矩阵。该方法是通过将原矩阵与单位矩阵进行组合，然后对组合矩阵进行一系列的行变换，最终使原矩阵变为单位矩阵，此时单位矩阵部分就变成了原矩阵的逆矩阵。
一、初等变换法的基本思路
1. 构造增广矩阵：将原矩阵 $ A $ 和单位矩阵 $ I $ 拼接成一个增广矩阵 $ [A \mid I] $。
2. 进行行变换：对增广矩阵进行一系列的初等行变换，直到左边的矩阵变成单位矩阵 $ I $。
3. 得到逆矩阵：当左边的矩阵变为单位矩阵时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵 $ A^{-1} $。
二、步骤总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 构造增广矩阵 $ [A \mid I] $ |
| 2 | 使用初等行变换将左边的矩阵化为单位矩阵 |
| 3 | 右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵 $ A^{-1} $ |
三、示例说明
假设我们有矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
$$
我们希望用初等变换法求出它的逆矩阵。
第一步：构造增广矩阵
$$
| A \mid I] = \left[ \begin{array}{cc | cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array} \right |
$$
第二步：进行行变换
- 第一步：用 $ R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 $，消去第二行第一列元素：
$$
\left[
\begin{array}{cc
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & -2 & -3 & 1
\end{array}
\right
$$
- 第二步：用 $ R_2 \leftarrow \frac{1}{-2} R_2 $，使第二行第二列变为 1：
$$
\left[
\begin{array}{cc
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array}
\right
$$
- 第三步：用 $ R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2 $，消去第一行第二列元素：
$$
\left[
\begin{array}{cc
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array}
\right
$$
第三步：得到逆矩阵
此时左边为单位矩阵，右边即为逆矩阵：
$$
A^{-1} =
\begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{bmatrix}
$$
四、注意事项
- 并非所有矩阵都有逆矩阵，只有行列式不为零的矩阵才可逆。
- 初等变换包括：交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的倍数。
- 在实际操作中，要尽量避免分数计算，可以适当调整行顺序或选择合适的乘数。
五、总结表格
| 内容 | 说明 |
| 方法名称 | 初等变换法 |
| 核心思想 | 将原矩阵与单位矩阵拼接，通过行变换使其变为单位矩阵，右侧即为逆矩阵 |
| 步骤 | 构造增广矩阵 → 行变换 → 得到逆矩阵 |
| 适用条件 | 矩阵必须可逆（行列式不为零） |
| 注意事项 | 避免除以零，注意分数处理，保持行变换正确性 |
通过上述方法，我们可以系统地、清晰地掌握如何利用初等变换法求解矩阵的逆矩阵。这种方法不仅逻辑清晰，而且在实际计算中具有较高的实用性。