【增函数乘增函数口诀】在数学中，函数的单调性是研究函数性质的重要内容之一。当我们讨论两个增函数相乘时，其结果的单调性并不总是简单的“增函数乘增函数仍是增函数”，而是需要根据具体情况进行分析。为了便于记忆和理解，这里总结出一个“增函数乘增函数”的判断口诀，并结合实例进行说明。
一、增函数乘增函数口诀
口诀：
> 同号增，异号减；正负分界看零点。
这句话的意思是：
- 当两个增函数在某一区间内都为正或都为负时，它们的乘积在该区间内可能是增函数；
- 若一个为正，另一个为负，则乘积可能为减函数；
- 在乘积函数的零点附近，需特别注意符号的变化，以判断单调性的变化。
二、总结与表格
| 情况 | 函数1（f(x)） | 函数2（g(x)） | 乘积 f(x)·g(x) | 单调性 | 说明 |
| 1 | 增函数（正） | 增函数（正） | 增函数 | 可能增 | 正数×正数=正，若增长趋势一致，乘积仍可能为增 |
| 2 | 增函数（正） | 增函数（负） | 减函数 | 可能减 | 正×负=负，且两函数均递增，可能导致乘积递减 |
| 3 | 增函数（负） | 增函数（负） | 增函数 | 可能增 | 负数×负数=正，若绝对值递增，乘积可能为增 |
| 4 | 增函数（正） | 增函数（正） | 增函数 | 可能增 | 同上，但需考虑导数计算 |
| 5 | 增函数（正） | 增函数（0附近） | 不确定 | 需分析 | 乘积在0附近可能有极值点 |
三、实例分析
例1：
设 $ f(x) = x $，$ g(x) = x + 1 $，两者均为增函数，且在定义域内均为正。
- 乘积：$ h(x) = x(x + 1) = x^2 + x $
- 导数：$ h'(x) = 2x + 1 $
- 当 $ x > -\frac{1}{2} $ 时，$ h'(x) > 0 $，即乘积为增函数。
例2：
设 $ f(x) = x $，$ g(x) = -x + 1 $，前者为增函数，后者在 $ x < 1 $ 时为增函数（负值）。
- 乘积：$ h(x) = x(-x + 1) = -x^2 + x $
- 导数：$ h'(x) = -2x + 1 $
- 当 $ x < \frac{1}{2} $ 时，$ h'(x) > 0 $，乘积为增函数；当 $ x > \frac{1}{2} $ 时，$ h'(x) < 0 $，乘积为减函数。
四、注意事项
1. 符号一致性：两个增函数的乘积是否为增函数，取决于它们的符号是否一致。
2. 导数分析：仅凭口诀无法完全确定单调性，最终仍需通过求导判断。
3. 零点影响：乘积函数的零点可能会改变单调性，需特别关注。
五、总结
“增函数乘增函数”并非一定为增函数，其结果取决于两个函数的符号、增长趋势以及零点位置。掌握这一口诀有助于快速判断乘积函数的单调性，但在实际应用中仍需结合导数分析，确保结论准确。
如需进一步探讨其他类型函数的乘积性质，可继续关注相关话题。