【正态分布的分布函数是什么】正态分布是统计学中最重要、应用最广泛的概率分布之一，广泛应用于自然科学、社会科学、工程等领域。在实际问题中，了解正态分布的分布函数对于计算概率、进行数据分析和预测具有重要意义。
一、正态分布的基本概念
正态分布（Normal Distribution）是一种连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，对称于均值。正态分布由两个参数决定：均值（μ）和标准差（σ）。记作 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $。
二、正态分布的分布函数
正态分布的分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF），也称为累积分布函数，表示随机变量 $ X $ 小于或等于某个值 $ x $ 的概率，即：
$$
F(x) = P(X \leq x)
$$
对于一般的正态分布 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，其分布函数为：
$$
F(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2}} dt
$$
这个积分无法用初等函数表达，因此通常需要借助数值方法或查表来计算。
三、标准正态分布的分布函数
为了方便计算，通常将一般正态分布转换为标准正态分布（均值为0，标准差为1），记作 $ Z \sim N(0, 1) $。标准正态分布的分布函数记为：
$$
\Phi(z) = P(Z \leq z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-\frac{t^2}{2}} dt
$$
通过标准化变换 $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $，可以将任意正态分布的问题转化为标准正态分布的问题。
四、常用正态分布函数值表（标准正态分布）
| z | Φ(z) |
| -3.0 | 0.0013 |
| -2.5 | 0.0062 |
| -2.0 | 0.0228 |
| -1.5 | 0.0668 |
| -1.0 | 0.1587 |
| -0.5 | 0.3085 |
| 0.0 | 0.5000 |
| 0.5 | 0.6915 |
| 1.0 | 0.8413 |
| 1.5 | 0.9332 |
| 2.0 | 0.9772 |
| 2.5 | 0.9938 |
| 3.0 | 0.9987 |
> 注：Φ(z) 表示标准正态分布下小于等于 z 的概率。
五、总结
正态分布的分布函数是描述该分布累积概率的核心工具，虽然其数学表达式复杂，但通过标准化处理后，可以利用标准正态分布表或软件工具（如Excel、Python、R等）进行快速计算。掌握正态分布的分布函数有助于更准确地分析数据、进行假设检验和构建置信区间。
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