在物理学中，自由落体运动是一个经典的研究对象。它描述的是物体仅在重力作用下从静止开始下落的过程。通过分析自由落体的运动规律，我们可以进一步探讨能量守恒的问题，并由此推导出动能公式。

首先，我们回顾一下自由落体的基本原理。当一个物体被释放后，在忽略空气阻力的情况下，它的加速度恒定为重力加速度 \( g \)，通常取值约为 \( 9.8 \, \text{m/s}^2 \)。根据匀加速直线运动的位移公式：

\[

s = \frac{1}{2} g t^2

\]

其中 \( s \) 表示下落的距离，\( t \) 是时间，\( g \) 是重力加速度。这个公式表明了物体下落的距离与时间的平方成正比关系。

接下来，我们引入能量的概念来进一步理解自由落体现象。根据能量守恒定律，系统的总能量保持不变。对于自由落体而言，其初始状态具有势能，而随着物体下落，这部分势能逐渐转化为动能。

假设物体的质量为 \( m \)，初始高度为 \( h \)，则其初始势能为：

\[

E_p = mgh

\]

当物体下落到地面时，所有的势能都转化为了动能。因此，最终的动能可以表示为：

\[

E_k = E_p = mgh

\]

结合自由落体的速度公式 \( v = gt \)，我们可以将动能表达式改写为：

\[

E_k = \frac{1}{2} mv^2

\]

这里，\( v \) 是物体下落结束时的速度。这个公式即为我们熟知的动能公式，它描述了物体由于运动而具有的能量大小。

综上所述，通过对自由落体定律的深入分析和能量守恒的应用，我们成功地推导出了动能公式 \( E_k = \frac{1}{2} mv^2 \)。这一过程不仅加深了对自由落体现象的理解，也为后续更复杂的物理问题提供了理论基础。