在数学领域中，我们经常会遇到与平方根相关的有趣问题。今天，我们将探讨这样一个问题：已知某个正数的平方根分别是 \( 2a - 7 \) 和 \( -a + 2 \)。这是一个非常经典且富有挑战性的题目，它不仅涉及代数运算，还需要对平方根的性质有深刻的理解。

首先，让我们回顾一下平方根的基本概念。对于任意非负实数 \( x \)，其平方根定义为满足 \( y^2 = x \) 的所有 \( y \) 值。因此，当提到一个正数的平方根时，实际上是指两个互为相反数的值。换句话说，如果 \( p \) 是该正数的一个平方根，那么另一个平方根必然是 \( -p \)。

回到题目本身，根据题意，我们可以列出如下等式：

\[

(2a - 7)^2 = (-a + 2)^2

\]

接下来，我们需要解这个方程。通过展开两边的平方项，我们得到：

\[

(2a - 7)(2a - 7) = (-a + 2)(-a + 2)

\]

\[

4a^2 - 28a + 49 = a^2 - 4a + 4

\]

将所有项移到一侧后，整理得：

\[

4a^2 - a^2 - 28a + 4a + 49 - 4 = 0

\]

\[

3a^2 - 24a + 45 = 0

\]

进一步化简，可得：

\[

a^2 - 8a + 15 = 0

\]

这是一个标准的一元二次方程，可以通过因式分解法求解。观察系数，我们发现：

\[

(a - 3)(a - 5) = 0

\]

因此，解得 \( a = 3 \) 或 \( a = 5 \)。

为了验证这两个解是否符合题意，我们需要分别代入原表达式检查结果是否一致。当 \( a = 3 \) 时：

\[

2a - 7 = 2(3) - 7 = -1, \quad -a + 2 = -(3) + 2 = -1

\]

此时，两个平方根均为 \( -1 \)，显然不符合题目条件（因为平方根应该互为相反数）。

当 \( a = 5 \) 时：

\[

2a - 7 = 2(5) - 7 = 3, \quad -a + 2 = -(5) + 2 = -3

\]

此时，两个平方根分别为 \( 3 \) 和 \( -3 \)，完全符合题意。

综上所述，满足条件的 \( a \) 值为 \( 5 \)。对应的正数为 \( 3^2 = 9 \)。

这个问题展示了如何利用代数方法解决复杂的数学问题，并强调了仔细分析和验证的重要性。希望本文能帮助读者更好地理解平方根的相关知识！

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