在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，通常表示为 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a \neq 0 \)。这类函数的图像是一条抛物线，而抛物线具有一个顶点，这个顶点对应的函数值即为该函数的最大值或最小值。

最值的判断依据

- 如果 \( a > 0 \)，抛物线开口向上，则函数存在最小值。

- 如果 \( a < 0 \)，抛物线开口向下，则函数存在最大值。

最值的计算公式

对于给定的二次函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其顶点的横坐标可以通过以下公式求得：

\[

x_{\text{顶点}} = -\frac{b}{2a}

\]

将此横坐标代入原函数即可得到最值：

\[

y_{\text{最值}} = f(x_{\text{顶点}}) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c

\]

简化后可得：

\[

y_{\text{最值}} = \frac{4ac - b^2}{4a}

\]

示例分析

假设有一个二次函数 \( f(x) = 2x^2 - 8x + 5 \)，我们来求它的最值。

1. 确定系数：\( a = 2 \), \( b = -8 \), \( c = 5 \)。

2. 计算顶点横坐标：

\[

x_{\text{顶点}} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2

\]

3. 将 \( x = 2 \) 代入原函数：

\[

y_{\text{最值}} = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3

\]

因此，该函数的最小值为 \(-3\)。

注意事项

1. 在实际问题中，有时需要结合具体条件（如定义域）来确定最值是否有效。

2. 若题目给出的是区间而非整个实数范围，则需比较端点值与顶点值以确定最终结果。

通过上述方法，我们可以快速准确地找到二次函数的最值。希望这些内容对你有所帮助！