【高数主要公式】高等数学是理工科学生必修的一门基础课程，内容广泛且逻辑性强。掌握其核心公式对于理解概念、解题和考试都至关重要。以下是对高数中一些主要公式的总结，便于复习与查阅。
一、函数与极限
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 极限的定义 | $\lim_{x \to a} f(x) = L$ | 当 $x$ 趋近于 $a$ 时，$f(x)$ 趋近于 $L$ |
| 无穷小量比较 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 常用的等价无穷小关系之一 |
| 洛必达法则 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ | 适用于 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型不定式 |
二、导数与微分
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 导数定义 | $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ | 函数在某点的变化率 |
| 基本导数 | $(x^n)' = nx^{n-1}$ | 幂函数求导法则 |
| 链式法则 | $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ | 复合函数求导方法 |
| 高阶导数 | $y'' = (y')'$ | 二阶导数为一阶导数的导数 |
三、积分
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 不定积分基本公式 | $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$） | 幂函数积分公式 |
| 换元积分法 | $\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$ | 通过变量替换简化积分 |
| 分部积分法 | $\int u dv = uv - \int v du$ | 用于乘积形式的积分 |
| 定积分定义 | $\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^) \Delta x$ | 积分作为面积的极限形式 |
四、微分方程
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 一阶线性微分方程 | $y' + P(x)y = Q(x)$ | 可用积分因子法求解 |
| 可分离变量方程 | $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$ | 分离变量后积分求解 |
| 二阶常系数齐次方程 | $y'' + py' + qy = 0$ | 特征方程为 $r^2 + pr + q = 0$ |
五、级数
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 等比数列求和 | $S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}$ | $r \neq 1$ |
| 泰勒级数展开 | $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ | 在某点附近的多项式逼近 |
| 麦克劳林级数 | $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ | 泰勒级数在 $x=0$ 处的展开 |
六、多元函数微分
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 偏导数 | $\frac{\partial f}{\partial x}$ | 对某一变量求导，其余变量视为常数 |
| 全微分 | $df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$ | 多元函数的微分表示 |
| 方向导数 | $D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$ | 沿某个方向的变化率 |
七、重积分
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 二重积分 | $\iint_D f(x,y) dA$ | 在平面区域 $D$ 上对函数积分 |
| 三重积分 | $\iiint_V f(x,y,z) dV$ | 在空间区域 $V$ 上对函数积分 |
| 极坐标变换 | $dA = r dr d\theta$ | 用于极坐标系下的积分计算 |
总结
高数中的公式繁多，但掌握其基本结构和应用场景是关键。通过反复练习和灵活运用这些公式，可以有效提升解题能力和数学思维水平。建议在学习过程中注重公式的推导过程，而非单纯记忆，这样才能真正理解其含义并加以应用。
