在信号处理与数学分析中，傅里叶变换是一个非常重要的工具，用于将时域信号转换为频域表示。它能够揭示信号的频率成分，从而帮助我们更好地理解其特性。今天我们将探讨一个具体的函数：“sin(πt) × πt”的傅里叶变换。
首先，我们需要明确这个表达式的结构。这里的函数可以写成：
$$
f(t) = \sin(\pi t) \cdot \pi t
$$
这是一个正弦函数与线性项的乘积。从形式上看，它并不是一个标准的常见函数，因此需要通过傅里叶变换的基本公式来计算其频域表示。
傅里叶变换的基本定义
对于一个实值函数 $ f(t) $，其傅里叶变换 $ F(\omega) $ 定义为：
$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt
$$
对于本题中的函数 $ f(t) = \sin(\pi t) \cdot \pi t $，我们可以将其代入上式进行计算。
分析与计算
首先，我们知道：
$$
\sin(\pi t) = \frac{e^{j\pi t} - e^{-j\pi t}}{2j}
$$
因此，
$$
f(t) = \pi t \cdot \sin(\pi t) = \pi t \cdot \frac{e^{j\pi t} - e^{-j\pi t}}{2j}
$$
将其代入傅里叶变换公式：
$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \pi t \cdot \frac{e^{j\pi t} - e^{-j\pi t}}{2j} \cdot e^{-j\omega t} dt
$$
可以拆分为两个积分：
$$
F(\omega) = \frac{\pi}{2j} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} t e^{j\pi t} e^{-j\omega t} dt - \int_{-\infty}^{\infty} t e^{-j\pi t} e^{-j\omega t} dt \right]
$$
进一步简化指数部分：
$$
F(\omega) = \frac{\pi}{2j} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} t e^{-j(\omega - \pi)t} dt - \int_{-\infty}^{\infty} t e^{-j(\omega + \pi)t} dt \right]
$$
接下来，我们利用傅里叶变换中关于 $ t \cdot e^{-j\omega t} $ 的性质。已知：
$$
\mathcal{F}\{t e^{-j\omega_0 t}\} = j \frac{d}{d\omega} \delta(\omega - \omega_0)
$$
但更直接的方式是使用已知的傅里叶变换对：
$$
\mathcal{F}\{t e^{-j\omega_0 t}\} = j \frac{d}{d\omega} \delta(\omega - \omega_0)
$$
因此，我们可以得出：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} t e^{-j(\omega - \pi)t} dt = j \frac{d}{d\omega} \delta(\omega - \pi)
$$
同理：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} t e^{-j(\omega + \pi)t} dt = j \frac{d}{d\omega} \delta(\omega + \pi)
$$
因此，原式变为：
$$
F(\omega) = \frac{\pi}{2j} \left[ j \frac{d}{d\omega} \delta(\omega - \pi) - j \frac{d}{d\omega} \delta(\omega + \pi) \right]
$$
化简后得到：
$$
F(\omega) = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{d}{d\omega} \delta(\omega - \pi) - \frac{d}{d\omega} \delta(\omega + \pi) \right]
$$
这说明该函数的傅里叶变换是两个冲激函数导数的差，分别位于 $ \omega = \pi $ 和 $ \omega = -\pi $ 处。
结论
综上所述，“sin(πt) × πt”的傅里叶变换为：
$$
F(\omega) = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{d}{d\omega} \delta(\omega - \pi) - \frac{d}{d\omega} \delta(\omega + \pi) \right]
$$
这一结果展示了该函数在频域中的分布特性，也体现了傅里叶变换在处理非标准函数时的强大能力。理解这类变换有助于我们在信号处理、通信系统和控制系统等领域中更好地建模和分析实际问题。
