【1.1.2集合间的基本关系(习题课)】在学习集合这一数学基础概念时，了解集合之间的基本关系是至关重要的。本节内容主要围绕“集合间的基本关系”展开，通过典型例题的讲解与分析，帮助学生深入理解子集、真子集、相等集合以及空集等核心概念，并掌握如何在实际问题中灵活运用这些知识。

首先，我们回顾一下集合之间的几种基本关系：

1. 子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作 $ A \subseteq B $。

2. 真子集：如果A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作 $ A \subset B $。

3. 相等集合：如果两个集合A和B的元素完全相同，则称它们相等，记作 $ A = B $。

4. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 $ \emptyset $，它是一个特殊的集合，是任何集合的子集。

接下来，我们通过几道典型的习题来加深对这些概念的理解。

例题1：

已知集合 $ A = \{1, 2\} $，集合 $ B = \{1, 2, 3\} $，判断A与B之间的关系。

分析：

观察集合A和B的元素，可以看出A中的每个元素都属于B，因此A是B的一个子集。同时，B中还有元素3不在A中，因此A是B的真子集。所以结论为 $ A \subset B $。

例题2：

设集合 $ C = \{x | x^2 - 4 = 0\} $，集合 $ D = \{-2, 2\} $，判断C与D的关系。

分析：

解方程 $ x^2 - 4 = 0 $，得 $ x = \pm 2 $，即 $ C = \{-2, 2\} $。显然，C与D的元素完全一致，因此C与D是相等集合，即 $ C = D $。

例题3：

已知集合 $ E = \{1, 2\} $，集合 $ F = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\} $，判断E与F之间的关系。

分析：

集合E是一个含有两个元素的集合，而集合F是一个包含四个元素的集合，其中每个元素本身都是一个集合。从元素层面来看，E并不是F的子集，因为E中的元素1和2并不在F中出现。但要注意的是，F中包含了E作为一个子集，即 $ \{1,2\} \in F $，但这并不意味着E是F的子集。因此，E与F之间没有直接的子集关系。

例题4：

设集合 $ G = \{x | x \text{ 是正整数且 } x < 5\} $，集合 $ H = \{1, 2, 3, 4\} $，判断G与H的关系。

分析：

集合G可以表示为 $ \{1, 2, 3, 4\} $，与集合H的元素完全一致，因此G与H是相等集合，即 $ G = H $。

通过以上例题的练习，我们可以看到，理解集合之间的基本关系不仅需要准确掌握定义，还需要具备一定的逻辑推理能力。在实际应用中，如集合的运算、命题的真假判断等问题，都需要正确识别集合之间的关系。

最后提醒同学们，在做题过程中要特别注意以下几点：

- 区分“子集”与“真子集”的区别；

- 注意集合中的元素是否唯一、是否为空；

- 对于含参数的集合，需根据条件进行分类讨论。

希望通过对本节内容的复习与练习，大家能够更加熟练地掌握集合间的基本关系，并在后续的学习中打下坚实的基础。