在学习《复变函数与积分变换》这门课程时，课后习题是巩固知识、提升解题能力的重要途径。尤其对于华中科技大学的教材版本，其内容体系严谨、逻辑清晰，涵盖了复数分析、解析函数、复积分、级数展开、留数定理以及傅里叶变换和拉普拉斯变换等核心知识点。
为了帮助同学们更好地理解和掌握这些内容，以下是对部分典型习题的详细解析与思路梳理，旨在为学习者提供参考与指导。
一、复数与复变函数
复数是复变函数的基础，理解复数的代数运算、几何表示及其在复平面上的映射关系至关重要。例如，求复数的模与幅角、进行复数的幂运算或根的求解等题目，都需要熟练掌握欧拉公式与棣莫弗定理。
例题：
设 $ z = 1 + i $，求 $ z^3 $ 的值。
解析：
可以采用极坐标形式计算：
$ |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $，
$ \arg(z) = \frac{\pi}{4} $，
则 $ z^3 = (\sqrt{2})^3 \cdot \text{cis}(3 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2} \cdot \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right) = -2 + 2i $。
二、解析函数与柯西-黎曼方程
解析函数是复变函数的核心概念之一，判断一个函数是否为解析函数，通常需要验证其满足柯西-黎曼方程，并且偏导数连续。
例题：
判断函数 $ f(z) = x^2 - y^2 + 2xyi $ 是否为解析函数。
解析：
令 $ u(x, y) = x^2 - y^2 $，$ v(x, y) = 2xy $，
计算偏导数：
$ u_x = 2x $，$ u_y = -2y $，
$ v_x = 2y $，$ v_y = 2x $。
验证柯西-黎曼方程：
$ u_x = v_y $，$ u_y = -v_x $，
即 $ 2x = 2x $，$ -2y = -2y $，成立。
因此，该函数在复平面上处处解析。
三、复积分与柯西积分定理
复积分是复变函数理论中的重要工具，常用于计算闭合路径上的积分。柯西积分定理指出，若函数在单连通区域内解析，则其沿任意闭合路径的积分为零。
例题：
计算 $ \oint_{C} \frac{1}{z} dz $，其中 $ C $ 是以原点为中心的单位圆。
解析：
由于 $ f(z) = \frac{1}{z} $ 在 $ z=0 $ 处不解析，故不能直接应用柯西积分定理。
利用参数化法：令 $ z = e^{i\theta} $，$ \theta \in [0, 2\pi] $，
则 $ dz = i e^{i\theta} d\theta $，
代入得：
$ \oint_C \frac{1}{z} dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{e^{i\theta}} \cdot i e^{i\theta} d\theta = i \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi i $。
四、级数展开与留数定理
泰勒级数和洛朗级数是研究复变函数局部性质的重要手段，而留数定理则是计算复积分的有效方法，特别是在处理有奇点的函数时。
例题：
求函数 $ f(z) = \frac{1}{z^2 + 1} $ 在 $ z = i $ 处的留数。
解析：
$ f(z) = \frac{1}{(z+i)(z-i)} $，
在 $ z=i $ 处为简单极点，
则留数为：
$ \text{Res}_{z=i} f(z) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \frac{1}{(z+i)(z-i)} = \frac{1}{2i} $。
五、傅里叶变换与拉普拉斯变换
傅里叶变换和拉普拉斯变换是积分变换的重要内容，广泛应用于信号处理、物理和工程领域。掌握它们的定义、性质及常见函数的变换形式，有助于解决实际问题。
例题：
求函数 $ f(t) = e^{-at} $（$ a > 0 $）的拉普拉斯变换。
解析：
根据定义：
$ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-at} e^{-st} dt = \int_0^\infty e^{-(s+a)t} dt = \frac{1}{s + a} $，
收敛域为 $ \text{Re}(s) > -a $。
结语
《复变函数与积分变换》作为一门数学基础课程，内容抽象但应用广泛。通过系统地完成课后习题，不仅能够加深对理论的理解，还能提升实际应用的能力。希望以上解析能为学习者提供一些启发与帮助，也鼓励大家多思考、勤练习，逐步建立起扎实的数学基础。
