在数学学习中，分式的运算是一项重要的技能。掌握分式的加减乘除以及混合运算是解决复杂问题的基础。本篇专题练习旨在帮助大家巩固分式运算的相关知识，提高解题能力。

一、分式的基本概念

分式是由两个整式相除组成的代数式，其形式为 \( \frac{A}{B} \)，其中 \( A \) 和 \( B \) 都是整式，且 \( B \neq 0 \)。分式的值取决于分子和分母的具体数值。

二、分式的加减法

分式的加减法需要找到公分母。具体步骤如下：

1. 确定分母的最小公倍数。

2. 将每个分式化为具有相同分母的形式。

3. 对分子进行加减运算，保持分母不变。

例题1：

计算 \( \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} \)

解：

最小公倍数为 \( (x+1)(x-1) \)

化为同分母后：

\( \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} + \frac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-1+2x+2}{(x+1)(x-1)} = \frac{3x+1}{(x+1)(x-1)} \)

三、分式的乘除法

分式的乘法直接将分子与分子相乘，分母与分母相乘；分式的除法则转化为乘法，即将第二个分式的分子与分母互换后再进行乘法运算。

例题2：

计算 \( \frac{x}{x+2} \cdot \frac{x+2}{x-1} \div \frac{x}{x-1} \)

解：

先转化为乘法：

\( \frac{x}{x+2} \cdot \frac{x+2}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x} \)

约分后得到：

\( 1 \)

四、分式的混合运算

分式的混合运算需要按照一定的顺序进行，通常遵循“先括号，再乘除，后加减”的原则。

例题3：

计算 \( \frac{1}{x} + \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x+1} \div \frac{x}{x+1} \)

解：

先处理除法部分：

\( \frac{1}{x+1} \div \frac{x}{x+1} = \frac{1}{x} \)

然后进行加减运算：

\( \frac{1}{x} + \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x} = \frac{x}{x+1} \)

通过以上练习，我们可以看到分式的运算虽然看似复杂，但只要掌握了基本的规则和技巧，就能轻松应对各种题目。希望大家通过这些练习，能够更加熟练地运用分式的运算方法，提升自己的数学水平。