在工程力学和土木工程领域中，结构动力学是研究结构在动态荷载作用下响应的一门学科。它帮助我们理解建筑物、桥梁和其他大型结构在地震、风荷载或其他动态作用下的行为。为了更好地掌握这一领域的知识，下面将通过一些典型习题来加深对结构动力学的理解，并提供详细的解答过程。
习题1：单自由度系统的自由振动
假设一个质量为 \( m = 10 \, \text{kg} \) 的物体挂在一根刚度系数为 \( k = 500 \, \text{N/m} \) 的弹簧上。求该系统的固有频率 \( f_n \) 和周期 \( T \)。
解答：
单自由度系统的固有频率可以通过公式计算：
\[
f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}
\]
代入已知参数：
\[
f_n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{500}{10}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{50} \approx 1.125 \, \text{Hz}
\]
周期 \( T \) 是频率的倒数：
\[
T = \frac{1}{f_n} \approx \frac{1}{1.125} \approx 0.89 \, \text{s}
\]
习题2：强迫振动分析
考虑一个质量为 \( m = 20 \, \text{kg} \) 的物体连接在一个弹簧常数 \( k = 400 \, \text{N/m} \) 的弹簧上，同时受到一个外部力 \( F(t) = 100\sin(10t) \, \text{N} \) 的作用。求稳态解。
解答：
对于强迫振动问题，稳态解的形式通常为：
\[
x_p(t) = X\cos(\omega t - \phi)
\]
其中，振幅 \( X \) 和相位角 \( \phi \) 可以通过以下公式计算：
\[
X = \frac{F_0}{k\sqrt{(1-(\omega/\omega_n)^2)^2 + (2\zeta\omega/\omega_n)^2}}
\]
\[
\tan\phi = \frac{-2\zeta\omega/\omega_n}{1-(\omega/\omega_n)^2}
\]
这里，\( \omega_n = \sqrt{k/m} \)，阻尼比 \( \zeta \) 默认设为零（无阻尼情况）。因此，
\[
\omega_n = \sqrt{\frac{400}{20}} = 4.47 \, \text{rad/s}
\]
代入 \( \omega = 10 \, \text{rad/s} \)：
\[
X = \frac{100}{400\sqrt{(1-(10/4.47)^2)^2}} \approx 0.0625 \, \text{m}
\]
\[
\tan\phi = \frac{-2\cdot0\cdot10/4.47}{1-(10/4.47)^2} = 0 \implies \phi = 0
\]
所以，稳态解为：
\[
x_p(t) = 0.0625\cos(10t)
\]
以上两道习题展示了如何应用基本原理解决实际中的结构动力学问题。通过这些练习，我们可以更深入地理解和掌握结构动力学的核心概念及其应用方法。希望这些例子能够帮助你在学习过程中取得更好的成绩！
