在高中数学中，数列是一个非常重要的知识点，它不仅贯穿了整个高中数学的学习过程，还在实际应用中有着广泛的价值。而数列求通项公式是数列问题的核心部分之一，其中累加法和累乘法是解决这类问题的两种经典方法。
一、累加法
累加法适用于形如 \(a_{n+1} = a_n + f(n)\) 的递推关系式。通过将递推关系式从第一项累加到第n项，可以得到通项公式。
典型例题
已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，且 \(a_{n+1} = a_n + 2n\)，求数列的通项公式。
解题步骤：
1. 根据递推关系式，写出前几项的关系：
\[
a_2 = a_1 + 2 \cdot 1, \quad a_3 = a_2 + 2 \cdot 2, \quad \dots, \quad a_{n+1} = a_n + 2n
\]
2. 将所有等式相加，得到：
\[
a_{n+1} = a_1 + 2(1 + 2 + \cdots + n)
\]
3. 利用等差数列的求和公式，计算括号内的和：
\[
1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}
\]
4. 代入并整理，得到通项公式：
\[
a_{n+1} = 1 + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n^2 + n + 1
\]
二、累乘法
累乘法适用于形如 \(a_{n+1} = a_n \cdot f(n)\) 的递推关系式。通过将递推关系式从第一项累乘到第n项，可以得到通项公式。
典型例题
已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，且 \(a_{n+1} = a_n \cdot (n+1)\)，求数列的通项公式。
解题步骤：
1. 根据递推关系式，写出前几项的关系：
\[
a_2 = a_1 \cdot 2, \quad a_3 = a_2 \cdot 3, \quad \dots, \quad a_{n+1} = a_n \cdot (n+1)
\]
2. 将所有等式相乘，得到：
\[
a_{n+1} = a_1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (n+1)
\]
3. 利用阶乘的概念，简化表达式：
\[
a_{n+1} = 1 \cdot (n+1)! = (n+1)!
\]
总结
通过累加法和累乘法，我们可以有效地解决许多数列求通项的问题。这两种方法的关键在于正确地识别递推关系式的类型，并合理地进行累加或累乘操作。希望以上讲解能帮助大家更好地理解和掌握这些方法。
在实际解题过程中，还需要注意细节的处理，比如符号的变化、公式的准确性等。通过不断的练习和总结，相信同学们能够更加熟练地运用这些技巧，轻松应对各种复杂的数列问题。
