【函数求导公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的函数求导公式，有助于快速计算导数、分析函数的单调性、极值以及曲线的形状等。本文将对一些常用的函数求导公式进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数公式 | 说明 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ | 常数的导数为0 |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ | 幂函数的导数 |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ | 指数函数的导数等于自身 |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ | 底数为a的指数函数导数 |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数的导数 |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ | 对数函数的导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ | 正弦函数的导数 |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | 余弦函数的导数 |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ | 正切函数的导数 |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ | 余切函数的导数 |
二、复合函数的导数（链式法则）
当函数由多个函数复合而成时，需要用到链式法则。设 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
- 若 $ f(x) = \sin(3x) $，则 $ f'(x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
- 若 $ f(x) = (x^2 + 1)^3 $，则 $ f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 $
三、乘积与商的导数规则
1. 乘积法则
若 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，则：
$$
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
2. 商法则
若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
四、高阶导数简介
除了基本的一阶导数外，还可以继续对导数进行求导，得到二阶、三阶等高阶导数。例如：
- 若 $ f(x) = x^3 $，则：
- 一阶导数：$ f'(x) = 3x^2 $
- 二阶导数：$ f''(x) = 6x $
- 三阶导数：$ f'''(x) = 6 $
高阶导数在物理、工程等领域中用于描述加速度、曲率等概念。
五、小结
函数求导是微积分中的基础内容，掌握各类常见函数的导数公式，不仅有助于解题效率的提升，还能加深对函数性质的理解。通过熟练运用导数规则（如链式法则、乘积法则、商法则），可以解决更复杂的数学问题。建议结合实际例子练习，逐步提高应用能力。
附：常用导数公式速查表（简略版）
| 函数 | 导数 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
如需进一步了解隐函数求导、参数方程求导等内容，可继续深入学习微分学的相关章节。