【arctanx的积分等于什么】在数学中，反三角函数的积分是一个常见的问题，尤其是对 $ \arctan x $ 的积分。了解这一积分不仅有助于解题，还能加深对微积分基本原理的理解。下面我们将总结 $ \arctan x $ 的积分公式，并通过表格形式清晰展示。
一、积分公式总结
$ \arctan x $ 的不定积分可以使用分部积分法进行求解。其积分结果为：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
其中，$ C $ 是积分常数。
这个结果可以通过以下步骤推导得出：
1. 设 $ u = \arctan x $，则 $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $
2. 设 $ dv = dx $，则 $ v = x $
3. 使用分部积分公式：$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $
4. 代入得：$ \int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx $
5. 对第二项积分：$ \int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $
最终得到上述积分表达式。
二、关键信息表格
| 积分表达式 | 结果 |
| $ \int \arctan x \, dx $ | $ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
三、注意事项
- 积分结果中的 $ C $ 是任意常数，表示原函数的通解。
- 若题目要求定积分，则需根据上下限计算具体数值。
- 在实际应用中，该积分常用于物理、工程和概率论等领域。
通过以上内容，我们可以清楚地了解 $ \arctan x $ 的积分公式及其推导过程。掌握这一知识点，有助于提升微积分的学习效果与应用能力。