给定一条直线由两个平面方程联立表示，其方向向量等于这两个平面法向量的叉积。 具体来说，若直线方程为两个平面方程：A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 和 A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0，则这两个平面的法向量分别为 n₁ = (A₁, B₁, C₁) 和 n₂ = (A₂, B₂, C₂)。直线的方向向量 s 可通过计算 n₁ 与 n₂ 的叉积得到：s = n₁ × n₂。这一方法的几何意义在于，直线是两平面的交线，方向同时垂直于两法向量，因此叉积即得方向。若两平面方程不平行（即法向量不共线），则直线唯一存在。需注意，叉积结果可能简化，可提取公因子化为最简整数向量。此外，若直线方程以其他形式给出（如两点式或参数式），则需对应转换，但两个方程式的常见形式即为平面交线，故叉积法是最直接通用的求解方式。
【常见问题】
问题1：在一条直线由两个方程式表示时，如何判断方向向量是否唯一？
回答1：方向向量不唯一，因为任何非零倍数都是该直线的方向向量。但通过两个平面法向量的叉积得到的向量是基准方向，可约去公因子得到最简整数形式，代表直线方向。
问题2：如果两个平面方程不平行，但法向量叉积为零怎么办？
回答2：法向量叉积为零意味着两个法向量共线，即两平面平行或重合，此时直线不存在（无交点）或为整个平面（重合），因此无法求出一条直线的方向向量。
问题3：两个平面方程联立求方向向量时，是否需要考虑常数项D₁、D₂？
回答3：不需要。方向向量只取决于法向量（即方程中x、y、z的系数），常数项仅影响直线位置，不影响方向。因此叉积计算时只使用系数A、B、C。