【高中三角函数所有公式】在高中数学中，三角函数是一个重要的知识点，涉及角度、三角形边长关系以及周期性变化等内容。掌握这些公式对于解题和理解后续的数学知识非常关键。以下是对高中阶段所学三角函数公式的全面总结，以文字说明加表格的形式呈现，帮助学生系统复习和记忆。
一、基本概念与定义
三角函数是基于直角三角形和单位圆定义的，主要包括六种基本函数：正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）、余割（sec）。
- sinθ = 对边 / 斜边
- cosθ = 邻边 / 斜边
- tanθ = 对边 / 邻边
- cotθ = 邻边 / 对边 = 1/tanθ
- secθ = 斜边 / 邻边 = 1/cosθ
- cscθ = 斜边 / 对边 = 1/sinθ
二、三角函数的基本公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 倒数关系 | sinθ = 1/cscθ, cosθ = 1/secθ, tanθ = 1/cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ, cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, 1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 公式表达 |
| sin(π - θ) = sinθ | cos(π - θ) = -cosθ |
| sin(π + θ) = -sinθ | cos(π + θ) = -cosθ |
| sin(-θ) = -sinθ | cos(-θ) = cosθ |
| sin(2π - θ) = -sinθ | cos(2π - θ) = cosθ |
| sin(π/2 - θ) = cosθ | cos(π/2 - θ) = sinθ |
| sin(π/2 + θ) = cosθ | cos(π/2 + θ) = -sinθ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB | |
| cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB | |
| tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| sin2θ = 2sinθ cosθ | |
| cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ | |
| tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] | |
| cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] | |
| tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = (sinθ)/(1 + cosθ) = (1 - cosθ)/sinθ |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 | |
| cosA sinB = [sin(A+B) - sin(A-B)] / 2 | |
| cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 | |
| sinA sinB = -[cos(A+B) - cos(A-B)] / 2 |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] | |
| sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] | |
| cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] | |
| cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
九、三角函数的图像与性质
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 | 单调性 |
| sinx | R | [-1,1] | 2π | 奇函数 | 在[-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]递增，在[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ]递减 |
| cosx | R | [-1,1] | 2π | 偶函数 | 在[2kπ, π + 2kπ]递减，在[π + 2kπ, 2π + 2kπ]递增 |
| tanx | x ≠ π/2 + kπ | R | π | 奇函数 | 在(-π/2 + kπ, π/2 + kπ)递增 |
十、特殊角的三角函数值表
| 角度θ（弧度） | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π |
| sinθ | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| cosθ | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1/2 | -√2/2 | -√3/2 | -1 |
| tanθ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | 无意义 | -√3 | -1 | -1/√3 | 0 |
通过以上内容的整理，可以清晰地看到高中阶段三角函数的主要公式及其应用范围。建议同学们在学习过程中结合图形理解，多做练习题，逐步提高对三角函数的理解和运用能力。