【等比乘等差的前n项和】在数列的学习中，常见的数列类型包括等差数列、等比数列以及它们的组合形式。其中，“等比乘等差”的数列是指一个等比数列与一个等差数列相乘后得到的新数列，其前n项和的求法是高中数学中的一个重要知识点。
本文将对“等比乘等差的前n项和”进行总结，并以表格形式展示不同情况下的计算公式和应用方法，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、基本概念
- 等差数列：每一项与前一项的差为常数，记作 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $
- 等比数列：每一项与前一项的比为常数，记作 $ b_n = a_1 \cdot r^{n-1} $
- 等比乘等差数列：即 $ c_n = a_n \cdot b_n $，其中 $ a_n $ 是等差数列，$ b_n $ 是等比数列
二、求前n项和的方法
对于数列 $ c_n = (a + (n-1)d) \cdot r^{n-1} $，其前n项和 $ S_n $ 可以通过错位相减法求得。具体步骤如下：
1. 写出前n项和表达式：
$$
S_n = a \cdot r^0 + (a + d) \cdot r^1 + (a + 2d) \cdot r^2 + \cdots + [a + (n-1)d] \cdot r^{n-1}
$$
2. 将整个式子两边同时乘以公比 $ r $：
$$
rS_n = a \cdot r^1 + (a + d) \cdot r^2 + \cdots + [a + (n-1)d] \cdot r^n
$$
3. 用原式减去乘以r后的式子，消去部分项，最终得到通项公式。
三、通项公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 等比乘等差前n项和公式 | $ S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} + \frac{d r (1 - n r^{n-1} + (n - 1) r^n)}{(1 - r)^2} $ | 当 $ r \neq 1 $ 时适用 |
| 当 $ r = 1 $ 时 | $ S_n = n \cdot a + d \cdot \frac{n(n - 1)}{2} $ | 此时等比数列为常数列，可简化计算 |
四、典型例题解析
例题：求数列 $ 1, 2 \cdot 2, 3 \cdot 2^2, 4 \cdot 2^3, \ldots $ 的前5项和。
分析：
- 等差部分：$ a_n = n $
- 等比部分：$ b_n = 2^{n-1} $
- 所以 $ c_n = n \cdot 2^{n-1} $
解法：
使用公式：
$$
S_n = \frac{1(1 - 2^n)}{1 - 2} + \frac{1 \cdot 2(1 - n \cdot 2^{n-1} + (n - 1) \cdot 2^n)}{(1 - 2)^2}
$$
代入 $ n = 5 $：
$$
S_5 = \frac{1(1 - 32)}{-1} + \frac{2(1 - 5 \cdot 16 + 4 \cdot 32)}{1} = 31 + 2(1 - 80 + 128) = 31 + 2 \cdot 49 = 31 + 98 = 129
$$
答案：前5项和为 129
五、总结表格
| 类型 | 数列形式 | 公比/公差 | 前n项和公式 | 适用条件 |
| 等差数列 | $ a_n = a + (n-1)d $ | 公差 $ d $ | $ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] $ | 任意n |
| 等比数列 | $ b_n = a \cdot r^{n-1} $ | 公比 $ r $ | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | $ r \ne 1 $ |
| 等比乘等差 | $ c_n = (a + (n-1)d) \cdot r^{n-1} $ | 公差 $ d $，公比 $ r $ | $ S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} + \frac{d r (1 - n r^{n-1} + (n - 1) r^n)}{(1 - r)^2} $ | $ r \ne 1 $ |
通过以上内容的整理，可以清晰地看到“等比乘等差的前n项和”的计算方法和实际应用方式。掌握这些知识不仅有助于应对考试题目，也能提升对数列问题的整体理解能力。