【常用反常积分有哪些】在数学分析中，反常积分（也称为广义积分）是普通定积分的推广，用于处理被积函数在积分区间内有无穷大、或积分区间本身为无限区间的积分。常见的反常积分形式包括无界函数的积分和无限区间的积分。下面对一些常用的反常积分进行总结，并以表格形式展示其定义、收敛性条件及典型例子。
一、常见反常积分类型
1. 无限区间上的反常积分
这类积分的积分区间为无限区间，例如 $(-\infty, a]$、$[a, +\infty)$ 或 $(-\infty, +\infty)$。
- 定义：
- $\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(x) \, dx$
- $\int_{-\infty}^{b} f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{b} f(x) \, dx$
- $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{a} f(x) \, dx + \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx$
- 收敛性： 若极限存在，则称该积分收敛；否则发散。
2. 无界函数的反常积分
当被积函数在积分区间内某点处无界时，如函数在某点趋于无穷，此时需要将积分拆分为两部分并取极限。
- 定义：
- 若 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上无界，且在 $(a, b]$ 内可积，则：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x) \, dx
$$
- 类似地，若在 $[a, b)$ 上无界，则：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a}^{b-\epsilon} f(x) \, dx
$$
- 收敛性： 同样取决于极限是否存在。
二、常用反常积分及其性质
| 积分形式 | 定义域 | 收敛条件 | 典型例子 | 是否收敛 |
| $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} \, dx$ | $[1, +\infty)$ | $p > 1$ | $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} \, dx$ | 收敛 |
| $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} \, dx$ | $[0, 1]$ | $p < 1$ | $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$ | 收敛 |
| $\int_{0}^{+\infty} e^{-ax} \, dx$ | $[0, +\infty)$ | $a > 0$ | $\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \, dx$ | 收敛 |
| $\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x} \, dx$ | $[0, 1]$ | 不收敛 | — | 发散 |
| $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx$ | $(-\infty, +\infty)$ | 收敛 | — | 收敛 |
| $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx$ | $[0, +\infty)$ | 收敛 | — | 收敛 |
| $\int_{1}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx$ | $[1, +\infty)$ | 收敛 | — | 收敛 |
| $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$ | $[0, 1]$ | 收敛 | — | 收敛 |
三、注意事项
- 反常积分的收敛性需严格验证，不能仅凭直观判断。
- 某些反常积分虽然收敛，但可能无法用初等函数表示，例如 $\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx$ 的结果是 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$。
- 对于含有奇点的积分，应特别注意积分点附近的极限行为，避免错误地认为积分一定收敛。
四、总结
反常积分是微积分中的重要工具，广泛应用于物理、工程、概率论等领域。掌握其基本形式与收敛条件，有助于更准确地理解和应用这些积分。通过表格可以快速了解常见反常积分的定义、收敛条件及实际例子，便于记忆与复习。