【平面向量的所有公式】在高中数学中，平面向量是一个重要的知识点，涉及向量的加减、数量积、向量积、模长、方向角等多个方面。为了帮助学习者更好地掌握相关知识，以下是对平面向量所有常用公式的总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 向量 | 既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示 |
| 零向量 | 模为0的向量，方向不确定 |
| 单位向量 | 模为1的向量，方向可任意 |
| 相等向量 | 大小相等且方向相同的向量 |
| 相反向量 | 大小相等但方向相反的向量 |
二、向量的运算
| 运算类型 | 公式 | 说明 | ||
| 向量加法 | $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ | 向量的加法遵循平行四边形法则或三角形法则 | ||
| 向量减法 | $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$ | 向量减法可以看作加上相反向量 | ||
| 数乘向量 | $k\vec{a} = (kx, ky)$ | 数乘向量改变其大小，方向由k的正负决定 | ||
| 向量的模 | $ | \vec{a} | = \sqrt{x^2 + y^2}$ | 向量的长度或大小 |
| 向量的方向角 | $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ | 向量与x轴正方向之间的夹角 |
三、向量的数量积（点积）
| 公式 | 说明 | |||||
| 点积定义 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ | $\theta$ 是两向量之间的夹角 | |
| 坐标表示 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$ | 通过坐标直接计算点积 | ||||
| 正交条件 | $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ | 两向量垂直时点积为零 |
四、向量的向量积（叉积）
| 公式 | 说明 | |||||
| 叉积定义 | $\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta \cdot \hat{n}$ | $\theta$ 是两向量之间的夹角，$\hat{n}$ 是垂直于两向量的单位向量 | |
| 坐标表示 | 在二维中，$\vec{a} \times \vec{b} = x_1y_2 - x_2y_1$ | 用于计算面积或判断方向 | ||||
| 向量积的性质 | $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ | 叉积不满足交换律 |
五、向量的投影
| 公式 | 说明 | |||||
| 向量$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \vec{b}$ | 投影向量 | ||
| 标量投影 | $ | \vec{a} | \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | }$ | 投影的长度 |
六、向量的夹角公式
| 公式 | 说明 | |||||
| 向量夹角公式 | $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | }$ | 通过点积求出两向量之间的夹角 |
七、向量的线性组合与基底
| 内容 | 说明 | |
| 线性组合 | $\vec{c} = k_1\vec{a} + k_2\vec{b}$ | 向量$\vec{c}$可以用其他向量的线性组合表示 |
| 基底 | 若$\vec{a}$和$\vec{b}$不共线，则它们可以作为平面向量的一组基底 | |
| 坐标表示 | 任意向量$\vec{v}$都可以表示为$\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j}$，其中$\vec{i}, \vec{j}$是标准基向量 |
八、向量的几何应用
| 应用 | 公式/说明 |
| 向量的中点公式 | 若A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则AB中点M为$\left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right)$ |
| 向量的重心公式 | 三角形ABC的重心G为$\left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)$ |
| 向量的平行与共线 | $\vec{a} = k\vec{b} \Rightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$（若$x_2, y_2 \neq 0$） |
总结
平面向量的公式虽然种类繁多，但核心内容主要集中在向量的基本运算、点积、叉积、投影、夹角以及几何应用等方面。掌握这些公式不仅能提高解题效率，还能加深对向量在实际问题中应用的理解。
如需进一步了解向量在物理或几何中的具体应用，可结合实例进行练习和分析。