【等差等比公式】在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们各自具有独特的规律和计算公式。掌握这些公式不仅有助于解决数列相关的问题，还能为更复杂的数学问题打下基础。以下是对等差数列与等比数列的公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、等差数列
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差是一个常数的数列。这个常数称为“公差”，记作 $ d $。
基本公式：
1. 通项公式：
$ a_n = a_1 + (n - 1)d $
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ d $ 是公差。
2. 求和公式：
$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $
表示前 $ n $ 项的和。
3. 中间项性质：
若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m + a_n = a_p + a_q $
二、等比数列
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比是一个常数的数列。这个常数称为“公比”，记作 $ r $。
基本公式：
1. 通项公式：
$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ r $ 是公比。
2. 求和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $
表示前 $ n $ 项的和。
3. 中间项性质：
若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $
三、对比总结表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 |
| 公差 | $ d $ | 无（用公比 $ r $ 表示） |
| 公比 | 无 | $ r $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） |
| 中间项性质 | $ a_m + a_n = a_p + a_q $ | $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $ |
通过以上内容可以看出，等差数列和等比数列虽然结构不同，但都具有明确的公式和规律。熟练掌握这些公式，能够帮助我们在实际问题中快速找到解题思路。无论是考试复习还是日常练习，理解并记忆这些基本公式都是十分必要的。
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