【求导的所有公式】在微积分的学习中，求导是基础且重要的内容。掌握各类函数的导数公式，有助于解决实际问题、分析函数变化趋势等。本文将对常见的求导公式进行总结，并以表格形式清晰展示，便于查阅与记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ | 常数的导数为0 |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ | 幂函数求导法则 |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ | 指数函数的导数为其本身 |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ | 底数为a的指数函数导数 |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数的导数 |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ | 对数函数的导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ | 正弦函数的导数为余弦 |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | 余弦函数的导数为负正弦 |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ | 正切函数的导数 |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ | 余切函数的导数 |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ | 正割函数的导数 |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ | 余割函数的导数 |
二、导数的运算法则
| 法则名称 | 公式 | 说明 |
| 常数倍法则 | $ (Cf(x))' = C f'(x) $ | 常数乘以函数的导数等于常数乘以函数的导数 |
| 加法法则 | $ (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) $ | 两个函数和的导数等于各自导数之和 |
| 减法法则 | $ (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x) $ | 两个函数差的导数等于各自导数之差 |
| 乘法法则 | $ (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ | 两个函数积的导数等于第一个导乘第二个加第一个乘第二个导 |
| 商法则 | $ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ | 两个函数商的导数公式 |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数等于外层函数导数乘以内层函数导数 |
三、高阶导数与隐函数求导
- 高阶导数：对原函数连续求导多次得到的导数，如 $ f''(x), f'''(x) $ 等。
- 隐函数求导：对于不能显式表示的函数，通过两边对x求导并解出 $ y' $ 的方法。
四、常见函数的导数示例
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = x^3 $ | $ f'(x) = 3x^2 $ |
| $ f(x) = \sqrt{x} $ | $ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $ |
| $ f(x) = \sin(2x) $ | $ f'(x) = 2\cos(2x) $ |
| $ f(x) = \ln(3x) $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = e^{5x} $ | $ f'(x) = 5e^{5x} $ |
| $ f(x) = \tan^{-1}x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1+x^2} $ |
五、小结
求导是微积分中的核心内容，掌握各种函数的导数公式及运算规则，不仅有助于提高数学能力，也为后续学习积分、微分方程等内容打下坚实基础。建议结合练习题不断巩固，逐步提升对导数的理解和应用能力。
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