【三角函数公式】三角函数是数学中重要的基础内容之一，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。它们描述了直角三角形中边与角之间的关系，也可以推广到单位圆和周期性现象的研究中。本文将对常见的三角函数公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、基本定义
在直角三角形中，设角θ为一个锐角，则有以下六种基本三角函数定义：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 |
二、常用恒等式
三角函数之间存在多种恒等关系，这些关系有助于简化计算和推导。
1. 倒数关系
| 函数 | 倒数关系 |
| sinθ | 1 / cscθ |
| cosθ | 1 / secθ |
| tanθ | 1 / cotθ |
| cscθ | 1 / sinθ |
| secθ | 1 / cosθ |
| cotθ | 1 / tanθ |
2. 商数关系
| 公式 | 表达式 |
| tanθ | sinθ / cosθ |
| cotθ | cosθ / sinθ |
3. 平方关系
| 公式 | 表达式 |
| sin²θ + cos²θ = 1 | |
| 1 + tan²θ = sec²θ | |
| 1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式
诱导公式用于将任意角的三角函数转换为0°~90°之间的角度函数，便于计算。
| 角度变化 | 三角函数表达式 |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| tan(π - θ) | -tanθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| tan(π + θ) | tanθ |
| sin(-θ) | -sinθ |
| cos(-θ) | cosθ |
| tan(-θ) | -tanθ |
四、和差角公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值。
| 公式 | 表达式 |
| sin(A ± B) | sinAcosB ± cosAsinB |
| cos(A ± B) | cosAcosB ∓ sinAsinB |
| tan(A ± B) | (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB) |
五、倍角公式
用于计算一个角的两倍、三倍等的三角函数值。
| 公式 | 表达式 |
| sin2θ | 2sinθcosθ |
| cos2θ | cos²θ - sin²θ |
| tan2θ | 2tanθ / (1 - tan²θ) |
| sin3θ | 3sinθ - 4sin³θ |
| cos3θ | 4cos³θ - 3cosθ |
六、积化和差公式
将乘积形式的三角函数转化为和差形式。
| 公式 | 表达式 |
| sinAcosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosAsinB | [sin(A+B) - sin(A-B)] / 2 |
| cosAcosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinAsinB | [-cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
七、和差化积公式
将和差形式的三角函数转化为乘积形式。
| 公式 | 表达式 |
| sinA + sinB | 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
总结
三角函数公式种类繁多，掌握其基本定义和常见恒等式对于解决实际问题具有重要意义。无论是学习还是应用，理解这些公式的来源和使用方法都是非常必要的。通过表格形式的整理，可以更直观地掌握各个公式之间的关系，提高学习效率。
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