【x方分之一的导数定义法】在微积分中，求函数的导数是理解其变化率的重要方法。对于函数 $ f(x) = \frac{1}{x^2} $，我们可以通过导数的定义来求解其导数。本文将通过定义法逐步推导该函数的导数，并以总结和表格的形式呈现结果。
一、导数的定义
函数 $ f(x) $ 在点 $ x $ 处的导数定义为：
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$
或者也可以用另一种形式表示：
$$
f'(x) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}
$$
二、应用定义法求 $ f(x) = \frac{1}{x^2} $ 的导数
我们使用第一种定义方式：
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h}
$$
步骤 1：通分
$$
\frac{1}{(x+h)^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - (x+h)^2}{x^2(x+h)^2}
$$
步骤 2：展开分子
$$
x^2 - (x+h)^2 = x^2 - (x^2 + 2xh + h^2) = -2xh - h^2
$$
步骤 3：代入表达式
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2xh - h^2}{h \cdot x^2(x+h)^2} = \lim_{h \to 0} \frac{-2x - h}{x^2(x+h)^2}
$$
步骤 4：取极限
当 $ h \to 0 $ 时，$ h $ 项消失，得到：
$$
f'(x) = \frac{-2x}{x^2 \cdot x^2} = \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}
$$
三、总结与表格
| 函数 | 导数 | 使用方法 |
| $ f(x) = \frac{1}{x^2} $ | $ f'(x) = -\frac{2}{x^3} $ | 导数定义法（极限法） |
四、结论
通过导数的定义法，我们得出函数 $ f(x) = \frac{1}{x^2} $ 的导数为 $ f'(x) = -\frac{2}{x^3} $。这一过程不仅展示了导数的基本原理，也体现了数学推导的严谨性。理解并掌握导数的定义法，有助于更深入地学习微积分及其应用。