【三角形重心坐标公式及证明】在几何学中，三角形的重心是一个重要的概念，它是指三角形三条中线的交点。重心不仅具有对称性，还与三角形的面积、质量分布等有密切关系。本文将总结三角形重心的坐标公式及其推导过程，并以表格形式进行归纳。
一、三角形重心的定义
三角形的重心是三角形三边中线的交点，同时也是三角形的质心。如果一个三角形的质量均匀分布，则其重心即为质心，且该点到三个顶点的距离之和最小。
二、三角形重心坐标公式
设三角形的三个顶点分别为 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $、$ C(x_3, y_3) $，则该三角形的重心 $ G $ 的坐标公式为：
$$
G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)
$$
这个公式表明，重心的横坐标是三个顶点横坐标的平均值，纵坐标也是三个顶点纵坐标的平均值。
三、重心坐标的证明
方法一：利用中线交点
假设 $ D $ 是边 $ BC $ 的中点，则 $ D $ 的坐标为：
$$
D\left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right)
$$
连接 $ A $ 和 $ D $，这条线段即为一条中线。同理，可以找到另外两条中线。重心 $ G $ 是这三条中线的交点。
由于中线是从顶点到对边中点的连线，根据向量分析或参数方程可得，重心将每条中线分为两段，其中从顶点到重心的部分是总长度的 $ \frac{2}{3} $。
因此，重心坐标可以通过将顶点坐标加权平均得到，权重为 $ \frac{1}{3} $，从而得出上述公式。
方法二：利用向量法
设三角形三个顶点的向量分别为 $ \vec{A} = (x_1, y_1) $、$ \vec{B} = (x_2, y_2) $、$ \vec{C} = (x_3, y_3) $，则重心 $ \vec{G} $ 的向量表示为：
$$
\vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}
$$
由此可直接得出坐标公式。
四、总结与对比
| 内容 | 说明 |
| 公式名称 | 三角形重心坐标公式 |
| 公式表达 | $ G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) $ |
| 适用对象 | 平面直角坐标系中的任意三角形 |
| 几何意义 | 三条中线的交点，质量中心 |
| 推导方法 | 向量法、中线分点法、参数方程法 |
| 特点 | 坐标为三个顶点坐标的算术平均 |
五、应用举例
例如，若三角形的三个顶点为 $ A(1, 2) $、$ B(4, 6) $、$ C(7, 3) $，则其重心坐标为：
$$
G\left( \frac{1 + 4 + 7}{3}, \frac{2 + 6 + 3}{3} \right) = G\left( \frac{12}{3}, \frac{11}{3} \right) = G(4, \frac{11}{3})
$$
通过以上内容可以看出，三角形的重心坐标公式简洁而实用，广泛应用于数学、物理、工程等领域。掌握这一公式有助于更深入地理解几何结构与空间关系。