【期望公式和方差公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均取值，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。掌握这些公式的应用，有助于我们更好地理解和分析数据。
以下是对常见分布的期望和方差公式的总结：
一、期望公式
| 分布类型 | 概率质量函数（PMF）或概率密度函数（PDF） | 期望（E[X]） |
| 0-1分布（伯努利分布） | P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p | p |
| 二项分布 B(n, p) | P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^{n-k} | np |
| 泊松分布 P(λ) | P(X=k) = e^{-λ} λ^k / k! | λ |
| 均匀分布 U(a,b) | f(x) = 1/(b-a), a ≤ x ≤ b | (a + b)/2 |
| 正态分布 N(μ, σ²) | f(x) = 1/√(2πσ²) e^{-(x-μ)²/(2σ²)} | μ |
| 指数分布 Exp(λ) | f(x) = λe^{-λx}, x ≥ 0 | 1/λ |
二、方差公式
| 分布类型 | 概率质量函数（PMF）或概率密度函数（PDF） | 方差（Var(X)） |
| 0-1分布（伯努利分布） | P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p | p(1-p) |
| 二项分布 B(n, p) | P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^{n-k} | np(1-p) |
| 泊松分布 P(λ) | P(X=k) = e^{-λ} λ^k / k! | λ |
| 均匀分布 U(a,b) | f(x) = 1/(b-a), a ≤ x ≤ b | (b - a)² / 12 |
| 正态分布 N(μ, σ²) | f(x) = 1/√(2πσ²) e^{-(x-μ)²/(2σ²)} | σ² |
| 指数分布 Exp(λ) | f(x) = λe^{-λx}, x ≥ 0 | 1/λ² |
三、总结
期望和方差是统计分析中的基础工具，广泛应用于数学建模、数据分析、金融风险评估等领域。不同的分布具有不同的期望和方差形式，理解这些公式有助于我们在实际问题中做出更准确的判断和预测。
通过表格的形式，可以清晰地看到各类分布的期望和方差表达式，便于记忆和应用。在实际操作中，可以根据具体的数据分布选择合适的公式进行计算，从而提升分析效率和准确性。