【排列组合计算公式举例】在数学中，排列组合是研究从一组元素中选取若干个元素的不同方式的学科。它广泛应用于概率、统计、计算机科学等领域。排列与组合的主要区别在于是否考虑顺序：排列是有序的，而组合是无序的。
以下是常见的排列与组合公式及其应用示例，通过表格形式进行总结，便于理解和记忆。
一、基本概念
| 概念 | 定义 | 是否考虑顺序 |
| 排列（Permutation） | 从n个不同元素中取出k个元素，按一定顺序排列 | 是 |
| 组合（Combination） | 从n个不同元素中取出k个元素，不考虑顺序 | 否 |
二、常见公式及举例
1. 排列公式（P(n, k)）
公式：
$$
P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}
$$
含义：从n个不同元素中取出k个进行排列的方式数。
举例：
从5个不同的字母A、B、C、D、E中选出3个进行排列，有多少种方式？
$$
P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60
$$
2. 组合公式（C(n, k)）
公式：
$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
$$
含义：从n个不同元素中取出k个进行组合的方式数。
举例：
从5个不同的字母A、B、C、D、E中选出3个组成一个集合，有多少种方式？
$$
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{120}{6 \times 2} = 10
$$
3. 全排列（n!）
公式：
$$
n! = n \times (n - 1) \times \cdots \times 1
$$
含义：将n个不同元素全部进行排列的方式数。
举例：
将4个不同的数字1、2、3、4全部排列，有多少种方式？
$$
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
$$
4. 重复排列（P(n, k) with repetition）
公式：
$$
n^k
$$
含义：从n个不同元素中取出k个，允许重复排列的方式数。
举例：
用数字0~9组成一个3位数，允许重复，有多少种可能？
$$
10^3 = 1000
$$
5. 重复组合（C(n + k - 1, k)）
公式：
$$
C(n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!}
$$
含义：从n个不同元素中取出k个，允许重复组合的方式数。
举例：
从3种水果（苹果、香蕉、橘子）中选5个，可以重复选择，有多少种组合方式？
$$
C(3 + 5 - 1, 5) = C(7, 5) = \frac{7!}{5!2!} = \frac{5040}{120 \times 2} = 21
$$
三、总结表格
| 类型 | 公式 | 示例 | 结果 |
| 排列 | $ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} $ | 从5个字母中取3个排列 | 60 |
| 组合 | $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ | 从5个字母中取3个组合 | 10 |
| 全排列 | $ n! $ | 4个数字全排列 | 24 |
| 重复排列 | $ n^k $ | 3位数，数字可重复 | 1000 |
| 重复组合 | $ C(n + k - 1, k) $ | 3种水果选5个，可重复 | 21 |
通过以上公式和实例，我们可以更清晰地理解排列组合的基本原理及其在实际问题中的应用。掌握这些内容有助于解决各类计数问题，并为后续学习概率论和统计学打下坚实基础。