【高数基本公式总结】高等数学是理工科学生必修的一门基础课程，内容涵盖函数、极限、导数、积分、级数等多个方面。掌握好基本公式对于理解数学原理和解决实际问题至关重要。本文对高等数学中的基本公式进行系统整理，便于学习和复习。
一、函数与极限
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 极限定义 | $\lim_{x \to a} f(x) = L$ | 当 $x$ 趋近于 $a$ 时，$f(x)$ 趋近于 $L$ |
| 无穷小量 | $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ | 函数在某点附近趋于零 |
| 无穷大量 | $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ | 函数在某点附近趋于无限大 |
| 两个重要极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 常用于极限计算 |
二、导数与微分
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 导数定义 | $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ | 表示函数在某一点的瞬时变化率 |
| 基本导数 | $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ $\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$ $\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$ $\frac{d}{dx} e^x = e^x$ $\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$ | 常见初等函数的导数 |
| 链式法则 | $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ | 复合函数求导方法 |
| 高阶导数 | $f''(x) = \frac{d^2 f}{dx^2}$ | 二阶导数表示导数的变化率 |
三、积分与不定积分
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 不定积分定义 | $\int f(x) dx = F(x) + C$ | $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数 | ||
| 基本积分公式 | $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$） $\int \sin x dx = -\cos x + C$ $\int \cos x dx = \sin x + C$ $\int e^x dx = e^x + C$ $\int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C$ | 常见函数的积分公式 |
| 换元积分法 | $\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$（令 $u = g(x)$） | 通过变量替换简化积分 | ||
| 分部积分法 | $\int u dv = uv - \int v du$ | 适用于乘积形式的积分 |
四、定积分与微积分基本定理
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 定积分定义 | $\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^) \Delta x$ | 表示函数在区间 $[a, b]$ 上的面积 |
| 微积分基本定理 | $\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$ $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ | 将微分与积分联系起来 |
| 反常积分 | $\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x) dx$ | 用于处理无限区间的积分 |
五、级数与泰勒展开
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 等比级数 | $\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1 - r}$（$ | r | < 1$） | 收敛条件为公比绝对值小于1 |
| 泰勒级数 | $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ | 在某点附近的函数展开 | ||
| 麦克劳林级数 | $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ | 泰勒级数在 $x=0$ 处的展开 | ||
| 常见泰勒展开 | $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ $\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ | 常用函数的泰勒展开式 |
六、多元函数微积分（简要）
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 偏导数 | $\frac{\partial f}{\partial x}$ | 对某个变量求导，其他变量视为常数 |
| 全微分 | $df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$ | 多元函数的微分形式 |
| 二重积分 | $\iint_D f(x, y) dA$ | 计算平面区域上的积分 |
| 三重积分 | $\iiint_V f(x, y, z) dV$ | 计算空间区域上的积分 |
总结
高等数学中的基本公式是学习和应用的基础，掌握这些公式有助于提高解题效率和理解数学本质。建议结合教材和例题反复练习，加深对公式的理解和运用能力。同时，注意公式的适用范围和前提条件，避免误用导致错误。
希望这份总结能帮助你更好地复习和掌握高等数学的核心内容。
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