【极限的运算法则】在微积分中，极限是研究函数变化趋势的基础工具。掌握极限的运算法则，有助于我们更高效地计算复杂函数的极限值。以下是对“极限的运算法则”的总结与归纳，便于理解和应用。
一、基本运算法则
1. 极限的加法法则
若 $\lim_{x \to a} f(x) = L$，$\lim_{x \to a} g(x) = M$，则
$$
\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M
$$
2. 极限的减法法则
$$
\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = L - M
$$
3. 极限的乘法法则
$$
\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M
$$
4. 极限的除法法则
若 $M \neq 0$，则
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}
$$
5. 常数倍法则
若 $c$ 为常数，则
$$
\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot L
$$
6. 幂法则
若 $n$ 为整数，则
$$
\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n
$$
7. 复合函数的极限法则
若 $\lim_{x \to a} g(x) = b$，且 $\lim_{x \to b} f(x) = L$，则
$$
\lim_{x \to a} f(g(x)) = L
$$
二、常见极限公式（辅助计算）
| 函数形式 | 极限值 | 说明 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | 1 | 常用三角极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ | 1 | 指数函数相关 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$ | 1 | 对数函数相关 |
| $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ | $e$ | 自然对数底数定义 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ | $\frac{1}{2}$ | 三角恒等变形 |
三、注意事项
- 当极限中出现“0/0”或“∞/∞”等不定型时，需使用洛必达法则或泰勒展开等方法进行处理。
- 在使用极限运算法则时，必须确保各部分极限存在，否则不能直接相加、相乘等。
- 极限运算不适用于某些特殊函数（如震荡函数），需结合图像或定义分析。
四、总结表格
| 运算法则 | 表达式 | 适用条件 |
| 加法法则 | $\lim(f+g) = \lim f + \lim g$ | 两极限均存在 |
| 减法法则 | $\lim(f-g) = \lim f - \lim g$ | 同上 |
| 乘法法则 | $\lim(f\cdot g) = \lim f \cdot \lim g$ | 同上 |
| 除法法则 | $\lim\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{\lim f}{\lim g}$ | $\lim g \neq 0$ |
| 常数倍法则 | $\lim(c \cdot f) = c \cdot \lim f$ | $c$ 为常数 |
| 幂法则 | $\lim(f^n) = (\lim f)^n$ | $n$ 为整数 |
| 复合函数法则 | $\lim f(g(x)) = f(\lim g(x))$ | $f$ 在 $\lim g(x)$ 处连续 |
通过掌握这些基本的极限运算法则，可以系统性地解决大部分初等函数的极限问题。在实际应用中，还需灵活结合代数变形、重要极限和洛必达法则等技巧，提升解题效率与准确性。