【偏导的公式】在数学中，偏导数是研究多元函数变化率的重要工具。当我们讨论一个函数关于某个变量的变化率时，如果其他变量保持不变，则这个变化率称为该变量的偏导数。本文将对偏导数的基本概念和常用公式进行总结，并以表格形式展示。
一、偏导数的定义
设函数 $ f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处有定义，若极限
$$
\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}
$$
存在，则称该极限为函数 $ f $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处对 $ x $ 的偏导数，记作 $ f_x(x_0, y_0) $ 或 $ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) $。
同理，对 $ y $ 的偏导数为：
$$
\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h}
$$
记作 $ f_y(x_0, y_0) $ 或 $ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) $。
二、常见函数的偏导数公式
以下是一些常见函数的偏导数公式，适用于两个自变量 $ x $ 和 $ y $：
| 函数表达式 | 对 $ x $ 的偏导数 | 对 $ y $ 的偏导数 |
| $ f(x, y) = x^n $ | $ n x^{n-1} $ | 0 |
| $ f(x, y) = y^m $ | 0 | $ m y^{m-1} $ |
| $ f(x, y) = x + y $ | 1 | 1 |
| $ f(x, y) = x \cdot y $ | $ y $ | $ x $ |
| $ f(x, y) = \sin(x) $ | $ \cos(x) $ | 0 |
| $ f(x, y) = \cos(y) $ | 0 | $ -\sin(y) $ |
| $ f(x, y) = e^{x+y} $ | $ e^{x+y} $ | $ e^{x+y} $ |
| $ f(x, y) = \ln(x) $ | $ \frac{1}{x} $ | 0 |
| $ f(x, y) = \ln(y) $ | 0 | $ \frac{1}{y} $ |
三、高阶偏导数
除了基本的一阶偏导数外，还可以求出更高阶的偏导数，如二阶偏导数：
- $ f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} $
- $ f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} $
- $ f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $
- $ f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} $
在连续可微的情况下，混合偏导数 $ f_{xy} $ 和 $ f_{yx} $ 相等（即克莱罗定理）。
四、小结
偏导数是研究多变量函数局部变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。掌握常见的偏导数公式有助于快速计算和分析复杂函数的行为。通过表格形式可以更直观地理解不同函数的偏导数规律。
注：本文内容基于基础数学知识整理，适合初学者或需要复习偏导数公式的读者。
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