【r平方计算公式】在统计学中，R平方（R²）是一个用于衡量回归模型拟合优度的重要指标。它表示因变量的变异中可以被自变量解释的比例，取值范围在0到1之间。R²越接近1，说明模型对数据的拟合程度越好；反之，越接近0，则说明模型解释力较弱。
一、R平方的基本概念
R平方是通过比较总平方和（SST）与残差平方和（SSE）之间的关系来计算的。其基本公式如下：
$$
R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}
$$
其中：
- SST（总平方和）：表示因变量的总变异，计算方式为所有观测值与均值的差的平方和。
- SSE（残差平方和）：表示模型预测值与实际观测值之间的差异平方和。
二、R平方的计算步骤
以下是计算R平方的一般步骤：
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 计算因变量的平均值 $\bar{y}$ |
| 2 | 计算每个观测值与平均值的差的平方和，即 SST |
| 3 | 使用回归模型得到预测值 $\hat{y}_i$ |
| 4 | 计算每个观测值与预测值的差的平方和，即 SSE |
| 5 | 代入公式 $R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$ 得出结果 |
三、R平方的意义
| 特征 | 解释 |
| R²=1 | 表示模型完美拟合数据，所有点都落在回归线上 |
| R²=0 | 表示模型无法解释任何因变量的变异 |
| 0 < R² < 1 | 表示模型部分解释了因变量的变化 |
需要注意的是，R平方并不意味着因果关系，仅反映相关性。此外，高R平方并不一定代表模型是最佳选择，可能需要结合其他指标如调整R平方、交叉验证等进行综合评估。
四、R平方的局限性
| 局限性 | 说明 |
| 过度拟合 | 可能因过多变量而虚高 |
| 不反映方向 | 无法判断正负相关性 |
| 不适用于非线性模型 | 在某些情况下不适用或需特殊处理 |
五、R平方计算示例（表格）
| 实际值 (y) | 预测值 ($\hat{y}$) | $y - \bar{y}$ | $(y - \bar{y})^2$ | $y - \hat{y}$ | $(y - \hat{y})^2$ |
| 5 | 4.8 | 0.5 | 0.25 | 0.2 | 0.04 |
| 6 | 5.9 | 1.5 | 2.25 | 0.1 | 0.01 |
| 7 | 6.7 | 2.5 | 6.25 | 0.3 | 0.09 |
| 4 | 4.1 | -0.5 | 0.25 | -0.1 | 0.01 |
| 5 | 5.0 | 0.5 | 0.25 | 0.0 | 0.00 |
计算：
- SST = 0.25 + 2.25 + 6.25 + 0.25 + 0.25 = 9.25
- SSE = 0.04 + 0.01 + 0.09 + 0.01 + 0.00 = 0.15
$$
R^2 = 1 - \frac{0.15}{9.25} ≈ 1 - 0.0162 = 0.9838
$$
因此，该模型的R平方约为 0.984，表明模型能够很好地解释因变量的变化。
六、总结
R平方是衡量回归模型拟合效果的重要工具，但并非万能。理解其计算原理和实际意义有助于更准确地评估模型表现。在实际应用中，应结合其他统计指标和业务背景进行综合分析。
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