据媒体报道，近日，【基本不等式练习题】引发关注。在数学学习中，基本不等式是一个重要的知识点，尤其在高中阶段的代数部分有着广泛的应用。它不仅用于求解最值问题，还能帮助我们理解变量之间的关系。常见的基本不等式包括均值不等式（AM ≥ GM）、柯西不等式等。为了更好地掌握这些内容，下面整理了一些典型的练习题，并附上详细的解答过程和答案。
一、练习题精选
| 题号 | 题目 | 答案 |
| 1 | 若 $ a > 0 $，$ b > 0 $，且 $ a + b = 4 $，求 $ ab $ 的最大值。 | 4 |
| 2 | 已知 $ x > 0 $，求函数 $ y = x + \frac{1}{x} $ 的最小值。 | 2 |
| 3 | 若 $ a, b $ 均为正实数，且 $ ab = 9 $，求 $ a + b $ 的最小值。 | 6 |
| 4 | 设 $ x > 0 $，$ y > 0 $，且 $ x + y = 10 $，求 $ xy $ 的最大值。 | 25 |
| 5 | 已知 $ a, b $ 是正实数，且 $ a + b = 5 $，求 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $ 的最小值。 | $\frac{4}{5}$ |
| 6 | 若 $ a > 0 $，$ b > 0 $，且 $ ab = 1 $，求 $ a + 2b $ 的最小值。 | $2\sqrt{2}$ |
| 7 | 若 $ x > 0 $，$ y > 0 $，且 $ x + 2y = 8 $，求 $ xy $ 的最大值。 | 8 |
| 8 | 已知 $ a, b $ 是正实数，且 $ a^2 + b^2 = 10 $，求 $ ab $ 的最大值。 | $\frac{5}{2}$ |
| 9 | 若 $ x > 0 $，$ y > 0 $，且 $ x + y = 1 $，求 $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $ 的最小值。 | 4 |
| 10 | 已知 $ a > 0 $，$ b > 0 $，且 $ a + b = 3 $，求 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $ 的最小值。 | $\frac{4}{3}$ |
二、解题思路总结
1. 均值不等式（AM ≥ GM）：对于正数 $ a $ 和 $ b $，有 $ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $，当且仅当 $ a = b $ 时取等号。这是解决最值问题的核心工具。
2. 应用技巧：
- 当已知两个数的和时，乘积的最大值出现在两数相等时；
- 当已知两个数的积时，和的最小值也出现在两数相等时；
- 对于形如 $ ax + by $ 或 $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $ 的表达式，可以结合均值不等式进行变形和分析。
3. 注意条件：题目中若给出变量的范围（如正数、负数或零），需特别注意是否满足不等式的使用条件。
三、总结
基本不等式是解决最优化问题的重要工具，尤其在实际应用中非常常见。通过多做练习题并结合具体题目的分析，能够更深入地理解和掌握这一知识点。建议在学习过程中注重对题型的分类与归纳，逐步提高解题的灵活性和准确性。
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