在高等代数中，行列式的计算是矩阵理论的重要组成部分之一。行列式的值不仅反映了方阵的一些重要性质，如可逆性、特征值等，还广泛应用于线性方程组求解、向量空间变换等领域。而行列式的计算方法多种多样，其中按行（列）展开法是一种基础且灵活的方法，尤其适合处理阶数较高的行列式。
行列式的定义与按行（列）展开原理
首先回顾一下行列式的定义：对于一个 \(n \times n\) 的方阵 \(A = (a_{ij})\)，其行列式记作 \(\det(A)\)，可以递归地通过余子式和代数余子式来定义。当 \(n=1\) 时，\(\det(A) = a_{11}\)；当 \(n>1\) 时，则有以下公式：
\[
\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}, \quad i \in \{1, 2, ..., n\},
\]
这里，\(M_{ij}\) 是去掉第 \(i\) 行和第 \(j\) 列后剩下的子矩阵的行列式，称为 \(a_{ij}\) 的余子式；而 \((-1)^{i+j} M_{ij}\) 被称为 \(a_{ij}\) 的代数余子式。
按行展开是指将行列式按照某一行的所有元素进行分解，而按列展开则是针对某一列的所有元素展开。两种方式本质上是相同的，只是选择的参考方向不同。
按行展开的具体步骤
假设我们要对一个 \(n \times n\) 矩阵 \(A\) 进行按第 \(i\) 行展开，具体步骤如下：
1. 确定目标行：选定某一行 \(i\) 作为展开对象。
2. 提取元素：从该行中依次取出每个元素 \(a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in}\)。
3. 计算代数余子式：对于每一个元素 \(a_{ij}\)，计算其对应的代数余子式 \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\)，其中 \(M_{ij}\) 是去掉第 \(i\) 行和第 \(j\) 列后的子矩阵的行列式。
4. 组合结果：将所有项相加，即 \(\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij}\)。
实例演示
为了更好地理解这种方法，我们来看一个具体的例子。假设有一个 \(3 \times 3\) 矩阵：
\[
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}.
\]
我们选择按第一行展开，即 \(i=1\)。根据公式，行列式为：
\[
\det(A) = 1 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13},
\]
其中：
- \(C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = M_{11} = \det\left(\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{bmatrix}\right) = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = -3\),
- \(C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -M_{12} = -\det\left(\begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{bmatrix}\right) = -(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) = 6\),
- \(C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = M_{13} = \det\left(\begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\right) = 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = -3\).
因此，行列式为：
\[
\det(A) = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0.
\]
应用场景与技巧
按行（列）展开法虽然简单直观，但在实际操作中需要注意以下几点：
1. 选择合适的行或列：通常会选择包含较多零元素的一行或一列，以减少计算量。
2. 递归应用：对于高阶行列式，可以通过不断展开降低阶数，直到能够直接计算为止。
3. 避免重复计算：在多次展开过程中，某些子矩阵可能会重复出现，此时可以预先存储这些结果以提高效率。
总之，掌握按行（列）展开法不仅是学习行列式的基础，也是解决更复杂问题的关键工具。通过反复练习和总结经验，我们可以更加熟练地运用这一方法，从而在数学研究和工程实践中取得更好的成果。
