在数学和物理领域中，向量是一种重要的工具，用于表示具有大小和方向的量。向量的计算涉及到多种基本运算，这些运算构成了处理向量问题的基础。以下是一些常见的向量计算公式及其应用。

向量加法与减法

向量的加法遵循平行四边形法则。如果两个向量A和B在同一平面内，则它们的和C可以通过将A和B首尾相接来得到。向量的减法可以看作是加上另一个向量的负值，即C = A - B 等价于 C = A + (-B)。

标量乘法

当一个标量k与向量A相乘时，结果是一个新的向量kA，其长度变为原向量长度的|k|倍，方向保持不变（若k>0）或相反（若k<0）。这一定律在许多实际问题中非常有用，例如调整力的作用效果或改变速度的大小而不改变方向。

点积（内积）

点积定义为两个向量A和B的数量积，记作A·B，等于两者的模长乘积再乘以它们之间夹角θ的余弦值。公式表达为：A·B = |A||B|cosθ。点积的结果是一个标量，它反映了两个向量之间的相似程度；当A·B=0时，说明A与B正交。

叉积（外积）

叉积适用于三维空间中的向量，结果也是一个向量，且垂直于原始两向量所构成的平面。叉积的方向由右手定则确定。叉积的大小等于这两个向量形成的平行四边形面积。公式表示为：A×B = |A||B|sinθn，其中n为单位矢量，指向垂直于A和B所在平面的方向。

模长

向量A的模长|A|等于根号下各分量平方和开方，即|A| = sqrt(a₁²+a₂²+...+an²)，这里a₁,a₂,...,an分别是A在各个坐标轴上的投影值。

以上就是一些基本的向量计算公式。通过灵活运用这些公式，我们可以解决各种复杂的数学和物理学问题。无论是工程设计还是科学研究，掌握好向量的概念及其操作方法都是非常必要的技能。