在高等数学中，洛必达法则是一种非常有用的工具，主要用于解决不定式极限的问题。当我们遇到形如0/0或∞/∞的不定式时，洛必达法则提供了一种简便的方法来求解这些极限。

例题1：

求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)

分析：当 \(x\) 趋向于0时，分子和分母都趋于0，因此这是一个0/0型的不定式。我们可以应用洛必达法则。

按照洛必达法则，我们对分子和分母分别求导：

\[

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}

\]

继续计算这个新的极限：

\[

\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos(0) = 1

\]

所以，原极限为1。

例题2：

求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2}\)

分析：当 \(x\) 趋向于无穷大时，分子和分母都趋于无穷大，因此这是一个∞/∞型的不定式。我们可以应用洛必达法则。

首先对分子和分母分别求导：

\[

\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{2x}

\]

再次遇到∞/∞型不定式，继续应用洛必达法则：

\[

\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{2}

\]

最终，这个极限显然趋于无穷大：

\[

\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{2} = \infty

\]

所以，原极限为无穷大。

通过这两个例子，我们可以看到洛必达法则在处理不定式极限问题中的强大作用。熟练掌握这种方法，可以帮助我们在考试或实际应用中快速准确地解决问题。