【华罗庚优选法】华罗庚优选法，又称“0.618法”，是由中国著名数学家华罗庚先生在20世纪60年代提出的一种优化方法。该方法主要用于单峰函数的最值搜索问题，具有简单、高效、实用性强等特点，在工程、经济、管理等多个领域广泛应用。
华罗庚优选法的核心思想是通过不断缩小搜索区间，逐步逼近最优解。其关键在于利用黄金分割比例（约0.618）来确定下一个试验点，从而减少计算量并提高效率。
一、华罗庚优选法的基本原理
| 项目 | 内容 |
| 方法类型 | 单变量优化方法 |
| 适用范围 | 单峰函数的极值求解 |
| 核心思想 | 利用黄金分割比例逐步缩小搜索区间 |
| 优点 | 简单易行、计算量小、收敛速度快 |
| 缺点 | 仅适用于单峰函数，对多峰函数不适用 |
二、华罗庚优选法的步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 确定初始区间 [a, b]，并设定精度要求 ε |
| 2 | 计算两个内点：x₁ = a + 0.618(b - a)，x₂ = b - 0.618(b - a) |
| 3 | 计算 f(x₁) 和 f(x₂)，比较两者的大小 |
| 4 | 若 f(x₁) < f(x₂)，则保留区间 [a, x₂]；否则保留 [x₁, b] |
| 5 | 重复步骤2-4，直到区间长度小于 ε，此时取中点作为最优解 |
三、华罗庚优选法的应用实例
假设我们有一个单峰函数 f(x) = -x² + 4x + 1，目标是找到最大值。设初始区间为 [0, 5]，精度要求为 0.01。
| 迭代次数 | 区间 [a, b] | x₁ | x₂ | f(x₁) | f(x₂) | 新区间 |
| 1 | [0, 5] | 3.09 | 1.91 | 4.09 | 4.91 | [1.91, 5] |
| 2 | [1.91, 5] | 3.71 | 3.09 | 4.71 | 4.09 | [1.91, 3.71] |
| 3 | [1.91, 3.71] | 2.91 | 2.61 | 4.91 | 4.81 | [2.61, 3.71] |
| 4 | [2.61, 3.71] | 3.21 | 3.01 | 4.99 | 4.91 | [2.61, 3.21] |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
最终在区间足够小时，取中点作为最大值点，约为 x ≈ 3.0。
四、总结
华罗庚优选法是一种经典的优化算法，尤其适合于单峰函数的极值求解。它不仅理论严谨，而且在实际应用中表现出良好的稳定性和效率。虽然随着现代计算技术的发展，许多更复杂的优化算法被提出，但华罗庚优选法因其简洁性与实用性，依然在多个领域中发挥着重要作用。
通过表格形式的展示，可以更直观地理解该方法的流程和效果，有助于进一步掌握其应用技巧。